Закон полного ожидания - Law of total expectation

Предложение в теория вероятности известный как закон полного ожидания,^[1] в закон повторных ожиданий^[2] (ЛОЖЬ), правило башни,^[3] Закон адама, а теорема сглаживания,^[4] среди других имен, утверждает, что если ${\displaystyle X}$ это случайная переменная чья ожидаемая стоимость ${\displaystyle \operatorname {E} (X)}$ определено, и ${\displaystyle Y}$ любая случайная величина на том же вероятностное пространство, тогда

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\operatorname {E} (\operatorname {E} (X\mid Y)),}$

т.е. ожидаемое значение из условное математическое ожидание из ${\displaystyle X}$ данный ${\displaystyle Y}$ совпадает с ожидаемым значением ${\displaystyle X}$.

Один особый случай гласит, что если ${\displaystyle {\left\{A_{i}\right\}}_{i}}$ является конечным или счетный раздел из пространство образца, тогда

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum _{i}{\operatorname {E} (X\mid A_{i})\operatorname {P} (A_{i})}.}$

Пример

Предположим, что только две фабрики поставляют лампочки На рынок. Фабрика ${\displaystyle X}$лампочки работают в среднем 5000 часов, тогда как заводские ${\displaystyle Y}$лампочки работают в среднем 4000 часов. Известно, что завод ${\displaystyle X}$ поставляет 60% от общего количества лампочек. Какое ожидаемое время проработает купленная лампочка?

Применяя закон полного ожидания, мы имеем:

${\displaystyle \operatorname {E} (L)=\operatorname {E} (L\mid X)\operatorname {P} (X)+\operatorname {E} (L\mid Y)\operatorname {P} (Y)=5000(0.6)+4000(0.4)=4600}$

куда

• ${\displaystyle \operatorname {E} (L)}$ ожидаемый срок службы лампочки;
• ${\displaystyle \operatorname {P} (X)={6 \over 10}}$ вероятность того, что купленная лампочка изготовлена ​​на заводе ${\displaystyle X}$;
• ${\displaystyle \operatorname {P} (Y)={4 \over 10}}$ вероятность того, что купленная лампочка изготовлена ​​на заводе ${\displaystyle Y}$;
• ${\displaystyle \operatorname {E} (L\mid X)=5000}$ ожидаемый срок службы лампы, произведенной ${\displaystyle X}$;
• ${\displaystyle \operatorname {E} (L\mid Y)=4000}$ ожидаемый срок службы лампы, произведенной ${\displaystyle Y}$.

Таким образом, ожидаемый срок службы каждой купленной лампочки составляет 4600 часов.

Доказательство в конечном и счетном случаях.

Пусть случайные величины ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$, определенные в том же вероятностном пространстве, принимают конечное или счетно бесконечное множество конечных значений. Предположить, что ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ определено, т.е. ${\displaystyle \min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty }$. Если ${\displaystyle \{A_{i}\}}$ является разбиением вероятностного пространства ${\displaystyle \Omega }$, тогда

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum _{i}{\operatorname {E} (X\mid A_{i})\operatorname {P} (A_{i})}.}$

Доказательство.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left(\operatorname {E} (X\mid Y)\right)&=\operatorname {E} {\Bigg [}\sum _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x\mid Y){\Bigg ]}\\[6pt]&=\sum _{y}{\Bigg [}\sum _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x\mid Y=y){\Bigg ]}\cdot \operatorname {P} (Y=y)\\[6pt]&=\sum _{y}\sum _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x,Y=y).\end{aligned}}}$

Если ряд конечен, то мы можем поменять местами суммирование, и предыдущее выражение станет

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{x}\sum _{y}x\cdot \operatorname {P} (X=x,Y=y)&=\sum _{x}x\sum _{y}\operatorname {P} (X=x,Y=y)\\[6pt]&=\sum _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x)\\[6pt]&=\operatorname {E} (X).\end{aligned}}}$

Если же, с другой стороны, ряд бесконечен, то его сходимость не может быть условный, в силу предположения, что ${\displaystyle \min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty .}$ Ряд сходится абсолютно, если оба ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{+}]}$ и ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{-}]}$ конечны и расходятся до бесконечности, когда либо ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{+}]}$ или же ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{-}]}$ бесконечно. В обоих сценариях можно поменять вышеуказанные суммы, не влияя на сумму.

Доказательство в общем случае

Позволять ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}$ - вероятностное пространство, на котором две суб σ-алгебры ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}\subseteq {\mathcal {F}}}$ определены. Для случайной величины ${\displaystyle X}$ на таком пространстве закон сглаживания утверждает, что если ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ определено, т.е.${\displaystyle \min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty }$, тогда

${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]=\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{1}]\quad {\text{(a.s.)}}.}$

Доказательство. Поскольку условное ожидание - это Производная Радона – Никодима, проверка следующих двух свойств устанавливает закон сглаживания:

• ${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]{\mbox{ is }}{\mathcal {G}}_{1}}$-измеримый
• ${\displaystyle \int _{G_{1}}\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}Xd\operatorname {P} ,}$ для всех ${\displaystyle G_{1}\in {\mathcal {G}}_{1}.}$

Первое из этих свойств выполняется по определению условного ожидания. Чтобы доказать второй,

${\displaystyle {\begin{aligned}\min \left(\int _{G_{1}}X_{+}\,d\operatorname {P} ,\int _{G_{1}}X_{-}\,d\operatorname {P} \right)&\leq \min \left(\int _{\Omega }X_{+}\,d\operatorname {P} ,\int _{\Omega }X_{-}\,d\operatorname {P} \right)\\[4pt]&=\min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty ,\end{aligned}}}$

так что интеграл ${\displaystyle \textstyle \int _{G_{1}}X\,d\operatorname {P} }$ определено (не равно ${\displaystyle \infty -\infty }$).

Таким образом, второе свойство выполняется, поскольку${\displaystyle G_{1}\in {\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}}$ подразумевает

${\displaystyle \int _{G_{1}}\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}Xd\operatorname {P} .}$

Следствие. В частном случае, когда ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}=\{\emptyset ,\Omega \}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{2}=\sigma (Y)}$, закон сглаживания сводится к

${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid Y]]=\operatorname {E} [X].}$

Доказательство формулы разбиения

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum \limits _{i}\operatorname {E} (X\mid A_{i})\operatorname {P} (A_{i})&=\sum \limits _{i}\int \limits _{\Omega }X(\omega )\operatorname {P} (d\omega \mid A_{i})\cdot \operatorname {P} (A_{i})\\&=\sum \limits _{i}\int \limits _{\Omega }X(\omega )\operatorname {P} (d\omega \cap A_{i})\\&=\sum \limits _{i}\int \limits _{\Omega }X(\omega )I_{A_{i}}(\omega )\operatorname {P} (d\omega )\\&=\sum \limits _{i}\operatorname {E} (XI_{A_{i}}),\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle I_{A_{i}}}$ это индикаторная функция из набора ${\displaystyle A_{i}}$.

Если раздел ${\displaystyle {\{A_{i}\}}_{i=0}^{n}}$ конечно, то по линейности предыдущее выражение принимает вид

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\sum \limits _{i=0}^{n}XI_{A_{i}}\right)=\operatorname {E} (X),}$

и мы закончили.

Если, однако, раздел ${\displaystyle {\{A_{i}\}}_{i=0}^{\infty }}$ бесконечно, то воспользуемся теорема о доминируемой сходимости показать это

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\sum \limits _{i=0}^{n}XI_{A_{i}}\right)\to \operatorname {E} (X).}$

Действительно, для каждого ${\displaystyle n\geq 0}$,

${\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{n}XI_{A_{i}}\right|\leq |X|I_{\mathop {\bigcup } \limits _{i=0}^{n}A_{i}}\leq |X|.}$

Поскольку каждый элемент множества ${\displaystyle \Omega }$ попадает в конкретный раздел ${\displaystyle A_{i}}$, несложно проверить, что последовательность ${\displaystyle {\left\{\sum _{i=0}^{n}XI_{A_{i}}\right\}}_{n=0}^{\infty }}$ сходится поточечно к ${\displaystyle X}$. По первоначальному предположению, ${\displaystyle \operatorname {E} |X|<\infty }$. Применение теоремы о доминирующей сходимости дает желаемое.

Смотрите также

• В основная теорема покера для одного практического применения.
• Закон полной вероятности
• Закон полной дисперсии
• Закон полной ковариации
• Закон полной совокупности
• Распространение продукта # ожидание (применение Закона для доказательства того, что ожидания продукта являются продуктом ожиданий)

Рекомендации

1. Вайс, Нил А. (2005). Курс вероятности. Бостон: Аддисон – Уэсли. С. 380–383. ISBN  0-321-18954-X.
2. "Закон повторяющегося ожидания | Блестящая вики по математике и науке". brilliant.org. Получено 2018-03-28.
3. Ри, Чан-хан (20 сентября 2011 г.). "Вероятность и статистика" (PDF).
4. Вольперт, Роберт (18 ноября 2010 г.). «Условное ожидание» (PDF).

• Биллингсли, Патрик (1995). Вероятность и мера. Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. ISBN  0-471-00710-2. (Теорема 34.4)
• Кристофер Симс, «Заметки о случайных переменных, ожиданиях, плотности вероятностей и мартингалах», особенно уравнения (16) - (18)