Уравнения Максвелла – Блоха - Maxwell–Bloch equations

В Уравнения Максвелла – Блоха, также называемый оптические уравнения Блоха^[1] описать динамику квантовая система с двумя состояниями взаимодействует с электромагнитной модой оптического резонатора. Они аналогичны (но совсем не эквивалентны) Уравнения Блоха которые описывают движение ядерный магнитный момент в электромагнитном поле. Уравнения могут быть выведены либо полуклассически или с полем, полностью квантованным при определенных приближениях.

Полуклассическая формулировка

Вывод полуклассических оптических уравнений Блоха почти идентичен решению квантовая система с двумя состояниями (см. обсуждение там). Однако обычно эти уравнения преобразуются в форму матрицы плотности. Систему, с которой мы имеем дело, можно описать волновой функцией:

${\displaystyle \psi =c_{g}\psi _{g}+c_{e}\psi _{e}}$

${\displaystyle \left|c_{g}\right|^{2}+\left|c_{e}\right|^{2}=1}$

В матрица плотности является

${\displaystyle \rho ={\begin{bmatrix}\rho _{ee}&\rho _{eg}\\\rho _{ge}&\rho _{gg}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{e}c_{e}^{*}&c_{e}c_{g}^{*}\\c_{g}c_{e}^{*}&c_{g}c_{g}^{*}\end{bmatrix}}}$

(возможны и другие соглашения; это следует за выводом в Metcalf (1999)).^[2] Теперь можно решить уравнение движения Гейзенберга или перевести результаты решения уравнения Шредингера в форму матрицы плотности. Приходят к следующим уравнениям, включая спонтанное излучение:

${\displaystyle {\frac {d\rho _{gg}}{dt}}=\gamma \rho _{ee}+{\frac {i}{2}}(\Omega ^{*}{\bar {\rho }}_{eg}-\Omega {\bar {\rho }}_{ge})}$

${\displaystyle {\frac {d\rho _{ee}}{dt}}=-\gamma \rho _{ee}+{\frac {i}{2}}(\Omega {\bar {\rho }}_{ge}-\Omega ^{*}{\bar {\rho }}_{eg})}$

${\displaystyle {\frac {d{\bar {\rho }}_{ge}}{dt}}=-\left({\frac {\gamma }{2}}+i\delta \right){\bar {\rho }}_{ge}+{\frac {i}{2}}\Omega ^{*}(\rho _{ee}-\rho _{gg})}$

${\displaystyle {\frac {d{\bar {\rho }}_{eg}}{dt}}=-\left({\frac {\gamma }{2}}-i\delta \right){\bar {\rho }}_{eg}+{\frac {i}{2}}\Omega (\rho _{gg}-\rho _{ee})}$

При выводе этих формул мы определяем ${\displaystyle {\bar {\rho }}_{ge}\equiv \rho _{ge}e^{-i\delta t}}$ и ${\displaystyle {\bar {\rho }}_{eg}\equiv \rho _{eg}e^{i\delta t}}$. Также явно предполагалось, что спонтанное излучение описывается экспоненциальным убыванием коэффициента ${\displaystyle \rho _{eg}(t)}$ с постоянной спада ${\displaystyle {\frac {\gamma }{2}}}$. ${\displaystyle \Omega }$ это Частота Раби, который

${\displaystyle \Omega ={\vec {d_{g,e}}}\cdot {\vec {E_{0}}}/\hbar }$,

и ${\displaystyle \delta =\omega -\omega _{0}}$ это расстройка и измеряет, насколько далеко частота света, ${\displaystyle \omega }$, из перехода, ${\displaystyle \omega _{0}}$. Здесь, ${\displaystyle \scriptstyle {{\vec {d}}_{g,e}}}$ это дипольный момент перехода для ${\displaystyle \scriptstyle {g\rightarrow e}}$ переход и ${\displaystyle \scriptstyle {{\vec {E}}_{0}={\hat {\epsilon }}E_{0}}}$ это вектор электрическое поле амплитуда, включая поляризация (в смысле ${\displaystyle {\vec {E}}={\frac {\vec {E_{0}}}{2}}e^{-i\omega t}+c.c.}$).

Вывод из квантовой электродинамики резонатора

Начиная с Гамильтониан Джейнса – Каммингса под когерентный драйв

${\displaystyle H=\omega _{c}a^{\dagger }a+\omega _{a}\sigma ^{\dagger }\sigma +ig(a^{\dagger }\sigma -a\sigma ^{\dagger })+iJ(a^{\dagger }e^{-i\omega _{l}t}-ae^{i\omega _{l}t})}$

куда ${\displaystyle a}$ это оператор опускания для поля резонатора и ${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{2}}\left(\sigma _{x}-i\sigma _{y}\right)}$ это атомарный оператор понижения, записанный как комбинация Матрицы Паули. Временную зависимость можно удалить, преобразовав волновую функцию согласно ${\displaystyle |\psi \rangle \rightarrow \operatorname {e} ^{-i\omega _{l}t\left(a^{\dagger }a+\sigma ^{\dagger }\sigma \right)}|\psi \rangle }$, что приводит к преобразованному гамильтониану

${\displaystyle H=\Delta _{c}a^{\dagger }a+\Delta _{a}\sigma ^{\dagger }\sigma +ig(a^{\dagger }\sigma -a\sigma ^{\dagger })+iJ(a^{\dagger }-a)}$

куда ${\displaystyle \Delta _{i}=\omega _{i}-\omega _{l}}$. В нынешнем виде гамильтониан состоит из четырех членов. Первые два - это собственная энергия атома (или другой двухуровневой системы) и поле. Третий член - это член энергосберегающего взаимодействия, позволяющий полости и атому обмениваться населенностью и когерентностью. Только эти три члена дают лестницу одетых состояний Джейнса-Каммингса и связанный с ней ангармонизм в энергетическом спектре. Последний член моделирует связь между модой резонатора и классическим полем, то есть лазером. Сила привода ${\displaystyle J}$ дается через мощность, передаваемую через пустой двусторонний резонатор, как ${\displaystyle J={\sqrt {2P(\Delta _{c}^{2}+\kappa ^{2})/(\omega _{c}\kappa )}}}$, куда ${\displaystyle 2\kappa }$ - ширина линии резонатора. Это проливает свет на важный момент, касающийся роли рассеяния в работе лазера или другого CQED устройство; диссипация - это средство, с помощью которого система (связанный атом / полость) взаимодействует с окружающей средой. С этой целью диссипация включается путем постановки задачи в терминах основного уравнения, где последние два члена входят в Форма Линдблада

${\displaystyle {\dot {\rho }}=-i[H,\rho ]+2\kappa \left(a\rho a^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left(a^{\dagger }a\rho +\rho a^{\dagger }a\right)\right)+2\gamma \left(\sigma \rho \sigma ^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left(\sigma ^{\dagger }\sigma \rho +\rho \sigma ^{\dagger }\sigma \right)\right)}$

Уравнения движения для математических ожиданий операторов могут быть получены из основного уравнения по формулам ${\displaystyle \langle O\rangle =\operatorname {tr} \left(O\rho \right)}$ и ${\displaystyle \langle {\dot {O}}\rangle =\operatorname {tr} \left(O{\dot {\rho }}\right)}$. Уравнения движения для ${\displaystyle \langle a\rangle }$, ${\displaystyle \langle \sigma \rangle }$, и ${\displaystyle \langle \sigma _{z}\rangle }$, поле резонатора, атомная когерентность и атомная инверсия соответственно равны

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle a\rangle =i\left(-\Delta _{c}\langle a\rangle -ig\langle \sigma \rangle -iJ\right)-\kappa \langle a\rangle }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \sigma \rangle =i\left(-\Delta _{a}\langle \sigma \rangle -ig\langle a\sigma _{z}\rangle \right)-\gamma \langle \sigma \rangle }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \sigma _{z}\rangle =-2g\left(\langle a^{\dagger }\sigma \rangle +\langle a\sigma ^{\dagger }\rangle \right)-2\gamma \langle \sigma _{z}\rangle -2\gamma }$

На данный момент мы построили три из бесконечной лестницы связанных уравнений. Как видно из третьего уравнения, необходимы корреляции более высокого порядка. Дифференциальное уравнение для временной эволюции ${\displaystyle \langle a^{\dagger }\sigma \rangle }$ будет содержать математические ожидания произведений операторов высшего порядка, что приведет к бесконечному набору связанных уравнений. Мы эвристически приближаемся к тому, что математическое ожидание произведения операторов равно произведению математических ожиданий отдельных операторов. Это похоже на предположение, что операторы некоррелированы, и является хорошим приближением в классическом пределе. Оказывается, полученные уравнения дают правильное качественное поведение даже в режиме однократного возбуждения. Дополнительно, чтобы упростить уравнения, сделаем следующие замены

${\displaystyle \langle a\rangle =(\gamma /{\sqrt {2}}g)x}$

${\displaystyle \langle \sigma \rangle =-p/{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle \langle \sigma _{z}\rangle =-D}$

${\displaystyle \Theta =\Delta _{c}/\kappa }$

${\displaystyle C=g^{2}/2\kappa \gamma }$

${\displaystyle y={\sqrt {2}}gJ/\kappa \gamma }$

${\displaystyle \Delta =\Delta _{a}/\gamma }$

И уравнения Максвелла – Блоха могут быть записаны в их окончательном виде

${\displaystyle {\dot {x}}=\kappa \left(-2Cp+y-(i\Theta +1)x\right)}$

${\displaystyle {\dot {p}}=\gamma \left(-(1+i\Delta )p+xD\right)}$

${\displaystyle {\dot {D}}=\gamma \left(2(1-D)-(x^{*}p+xp^{*})\right)}$

Применение: атомно-лазерное взаимодействие

В дипольном приближении и приближение вращающейся волны, динамика атомной матрицы плотности при взаимодействии с лазерным полем описывается оптическим уравнением Блоха, влияние которого можно разделить на две части^[3]: Оптическая дипольная сила и сила рассеяния.^[4].

Смотрите также

• Атомный электронный переход
• Система Лоренца
• Полупроводниковые уравнения Блоха

Рекомендации

1. Arecchi, F .; Бонифачо, Р. (1965). «Теория оптических мазерных усилителей». Журнал IEEE по квантовой электронике. 1 (4): 169–178. Дои:10.1109 / JQE.1965.1072212. ISSN  0018-9197.
2. Меткалф, Гарольд. Лазерное охлаждение и захват Springer 1999 стр. 24-
3. Рой, Ричард (2017). «Квантовые газы иттербия и лития: гетероядерные молекулы и сверхтекучие смеси бозе-ферми» (PDF). Исследование ультрахолодных атомов и молекул в Вашингтонском университете.
4. Фут, Кристофер (2005). Атомная физика. Издательство Оксфордского университета. стр.137, 198–199.