Уравнения Блоха - Bloch equations

О волновой функции частицы в периодическом потенциале см. Теорема Блоха.

В физике и химии, особенно в ядерный магнитный резонанс (ЯМР), магнитно-резонансная томография (МРТ) и электронный спиновой резонанс (СОЭ), Уравнения Блоха представляют собой набор макроскопических уравнений, которые используются для расчета ядерной намагниченности M = (M_Икс, M_у, M_z) как функция времени, когда время релаксации Т₁ и Т₂ присутствуют. Это феноменологический уравнения, которые были введены Феликс Блох в 1946 г.^[1] Иногда их называют уравнения движения ядерной намагниченности. Они аналогичны Уравнения Максвелла – Блоха.

В лабораторной (стационарной) системе отсчета

Позволять M(т) = (M_Икс(т), M_у(т), M_z(т)) - ядерная намагниченность. Тогда уравнения Блоха гласят:

${\displaystyle {\frac {dM_{x}(t)}{dt}}=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{x}-{\frac {M_{x}(t)}{T_{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {dM_{y}(t)}{dt}}=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{y}-{\frac {M_{y}(t)}{T_{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {dM_{z}(t)}{dt}}=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{z}-{\frac {M_{z}(t)-M_{0}}{T_{1}}}}$

где γ - гиромагнитное отношение и B(т) = (B_Икс(т), B_у(т), B₀ + ΔB_z(t)) - это магнитное поле испытывают ядра. z составляющая магнитного поля B иногда состоит из двух терминов:

• один, B₀, постоянна во времени,
• другой, ΔB_z(t), может зависеть от времени. Он присутствует в магнитно-резонансная томография и помогает с пространственным декодированием сигнала ЯМР.

M(т) × B(т) это перекрестное произведение этих двух векторов.M₀ - установившаяся ядерная намагниченность (например, при t → ∞); это в z направление.

Физический фон

Без расслабления (то есть и то, и другое Т₁ и Т₂ → ∞) приведенные выше уравнения упрощаются до:

${\displaystyle {\frac {dM_{x}(t)}{dt}}=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{x}}$

${\displaystyle {\frac {dM_{y}(t)}{dt}}=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{y}}$

${\displaystyle {\frac {dM_{z}(t)}{dt}}=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{z}}$

или в векторной записи:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {M} (t)}{dt}}=\gamma \mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t)}$

Это уравнение для Ларморова прецессия ядерной намагниченности M во внешнем магнитном поле B.

Условия релаксации,

${\displaystyle \left(-{\frac {M_{x}}{T_{2}}},-{\frac {M_{y}}{T_{2}}},-{\frac {M_{z}-M_{0}}{T_{1}}}\right)}$

представляют собой установленный физический процесс поперечной и продольной релаксации ядерной намагниченности M.

Как макроскопические уравнения

Основная статья: Магнитный резонанс (квантовая механика)

Эти уравнения не микроскопический: они не описывают уравнения движения отдельных ядерных магнитных моментов. Они регулируются и описываются законами квантовая механика.

Уравнения Блоха макроскопический: они описывают уравнения движения макроскопической ядерной намагниченности, которые могут быть получены суммированием всего ядерного магнитного момента в образце.

Альтернативные формы

Раскрытие скобок векторного произведения в уравнениях Блоха приводит к:

${\displaystyle {\frac {dM_{x}(t)}{dt}}=\gamma \left(M_{y}(t)B_{z}(t)-M_{z}(t)B_{y}(t)\right)-{\frac {M_{x}(t)}{T_{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {dM_{y}(t)}{dt}}=\gamma \left(M_{z}(t)B_{x}(t)-M_{x}(t)B_{z}(t)\right)-{\frac {M_{y}(t)}{T_{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {dM_{z}(t)}{dt}}=\gamma \left(M_{x}(t)B_{y}(t)-M_{y}(t)B_{x}(t)\right)-{\frac {M_{z}(t)-M_{0}}{T_{1}}}}$

Приведенная выше форма дополнительно упрощена при условии, что

${\displaystyle M_{xy}=M_{x}+iM_{y}{\text{ and }}B_{xy}=B_{x}+iB_{y}\,}$

куда я = √−1. После некоторой алгебры получаем:

${\displaystyle {\frac {dM_{xy}(t)}{dt}}=-i\gamma \left(M_{xy}(t)B_{z}(t)-M_{z}(t)B_{xy}(t)\right)-{\frac {M_{xy}(t)}{T_{2}}}}$.

${\displaystyle {\frac {dM_{z}(t)}{dt}}=i{\frac {\gamma }{2}}\left(M_{xy}(t){\overline {B_{xy}(t)}}-{\overline {M_{xy}}}(t)B_{xy}(t)\right)-{\frac {M_{z}(t)-M_{0}}{T_{1}}}}$

куда

${\displaystyle {\overline {M_{xy}}}=M_{x}-iM_{y}}$.

является комплексным сопряжением M_ху. Реальная и мнимая части M_ху соответствуют M_Икс и M_у соответственно.M_ху иногда называют поперечная ядерная намагниченность.

Матричная форма

Уравнения Блоха можно преобразовать в матрично-векторную запись:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\begin{array}{c}M_{x}\\M_{y}\\M_{z}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{ccc}-{\frac {1}{T_{2}}}&\gamma B_{z}&-\gamma B_{y}\\-\gamma B_{z}&-{\frac {1}{T_{2}}}&\gamma B_{x}\\\gamma B_{y}&-\gamma B_{x}&-{\frac {1}{T_{1}}}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}M_{x}\\M_{y}\\M_{z}\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}0\\0\\{\frac {M_{0}}{T_{1}}}\end{array}}\right)}$

Во вращающейся системе отсчета

Во вращающейся системе отсчета легче понять поведение ядерной намагниченности. M. Это мотивация:

Решение уравнений Блоха с Т₁, Т₂ → ∞

Предположить, что:

• в т = 0 поперечная ядерная намагниченность M_ху(0) испытывает постоянное магнитное поле B(т) = (0, 0, B₀);
• B₀ положительный;
• нет продольной и поперечной релаксации (т.е. Т₁ и Т₂ → ∞).

Тогда уравнения Блоха упрощаются до:

${\displaystyle {\frac {dM_{xy}(t)}{dt}}=-i\gamma M_{xy}(t)B_{0}}$,

${\displaystyle {\frac {dM_{z}(t)}{dt}}=0}$.

Это два (не спаренные) линейные дифференциальные уравнения. Их решение:

${\displaystyle M_{xy}(t)=M_{xy}(0)e^{-i\gamma B_{0}t}}$,

${\displaystyle M_{z}(t)=M_{0}={\text{const}}\,}$.

Таким образом, поперечная намагниченность, M_ху, вращается вокруг z ось с угловая частота ω₀ = γB₀ по часовой стрелке (это связано с отрицательным знаком в показателе степени) .Продольная намагниченность, M_z остается неизменным во времени. Таким же образом поперечная намагниченность представляется наблюдателю в лабораторная система координат (то есть к стационарный наблюдатель).

M_ху(т) переводится следующим образом в наблюдаемые количества M_Икс(т) и M_у(т): С

${\displaystyle M_{xy}(t)=M_{xy}(0)e^{-i\gamma B_{z0}t}=M_{xy}(0)\left[\cos(\omega _{0}t)-i\sin(\omega _{0}t)\right]}$

тогда

${\displaystyle M_{x}(t)={\text{Re}}\left(M_{xy}(t)\right)=M_{xy}(0)\cos(\omega _{0}t)}$,

${\displaystyle M_{y}(t)={\text{Im}}\left(M_{xy}(t)\right)=-M_{xy}(0)\sin(\omega _{0}t)}$,

где Re (z) и я(z) - это функции, которые возвращают действительную и мнимую часть комплексного числа z. В этом расчете предполагалось, что M_ху(0) - действительное число.

Преобразование во вращающуюся систему отсчета

Это вывод из предыдущего раздела: в постоянном магнитном поле B₀ вдоль z ось поперечная намагниченность M_ху вращается вокруг этой оси по часовой стрелке с угловой частотой ω₀. Если бы наблюдатель вращался вокруг той же оси по часовой стрелке с угловой частотой Ω, M_ху ему или ей казалось, что он вращается с угловой частотой ω₀ - Ω. В частности, если наблюдатель вращался вокруг той же оси по часовой стрелке с угловой частотой ω₀, поперечная намагниченность M_ху казался бы ей или ему неподвижным.

Математически это можно выразить следующим образом:

• Позволять (Икс, у, z) декартова система координат лаборатория (или же стационарный) точка зрения, и
• (Икс′, у′, z′) = (Икс′, у′, z) - декартова система координат, которая вращается вокруг z ось лабораторной системы отсчета с угловой частотой Ω. Это называется вращающаяся система отсчета. Физические переменные в этой системе отсчета будут обозначены штрихом.

Очевидно:

${\displaystyle M_{z}'(t)=M_{z}(t)\,}$.

Что M_ху′(т)? Выражая аргумент в начале этого раздела математическим способом:

${\displaystyle M_{xy}'(t)=e^{+i\Omega t}M_{xy}(t)\,}$.

Уравнение движения поперечной намагниченности во вращающейся системе отсчета

Какое уравнение движения M_ху′(т)?

${\displaystyle {\frac {dM_{xy}'(t)}{dt}}={\frac {d\left(M_{xy}(t)e^{+i\Omega t}\right)}{dt}}=e^{+i\Omega t}{\frac {dM_{xy}(t)}{dt}}+i\Omega e^{+i\Omega t}M_{xy}(t)=e^{+i\Omega t}{\frac {dM_{xy}(t)}{dt}}+i\Omega M_{xy}'(t)}$

Подставим из уравнения Блоха в лабораторную систему отсчета:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt}}&=e^{+i\Omega t}\left[-i\gamma \left(M_{xy}(t)B_{z}(t)-M_{z}(t)B_{xy}(t)\right)-{\frac {M_{xy}(t)}{T_{2}}}\right]+i\Omega M_{xy}'(t)\\&=\left[-i\gamma \left(M_{xy}(t)e^{+i\Omega t}B_{z}(t)-M_{z}(t)B_{xy}(t)e^{+i\Omega t}\right)-{\frac {M_{xy}(t)e^{+i\Omega t}}{T_{2}}}\right]+i\Omega M_{xy}'(t)\\&=-i\gamma \left(M_{xy}'(t)B_{z}(t)-M_{z}(t)B_{xy}'(t)\right)+i\Omega M_{xy}'(t)-{\frac {M_{xy}'(t)}{T_{2}}}\\\end{aligned}}}$

Но по предположению в предыдущем разделе: B_z′(т) = B_z(т) = B₀ + ΔB_z(т) и M_z(т) = M_z′(т). Подставляя в уравнение выше:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt}}&=-i\gamma \left(M_{xy}'(t)(B_{0}+\Delta B_{z}(t))-M_{z}'(t)B_{xy}'(t)\right)+i\Omega M_{xy}'(t)-{\frac {M_{xy}'(t)}{T_{2}}}\\&=-i\gamma B_{0}M_{xy}'(t)-i\gamma \Delta B_{z}(t)M_{xy}'(t)+i\gamma B_{xy}'(t)M_{z}'(t)+i\Omega M_{xy}'(t)-{\frac {M_{xy}'(t)}{T_{2}}}\\&=i(\Omega -\omega _{0})M_{xy}'(t)-i\gamma \Delta B_{z}(t)M_{xy}'(t)+i\gamma B_{xy}'(t)M_{z}'(t)-{\frac {M_{xy}'(t)}{T_{2}}}\\\end{aligned}}}$

В этом смысл терминов в правой части этого уравнения:

• я (Ω - ω₀) M_ху′(т) - ларморовский член в системе отсчета, вращающейся с угловой частотой Ω. Отметим, что он обращается в ноль, когда Ω = ω₀.
• -я γ ΔB_z(т) M_ху′(т) термин описывает влияние неоднородности магнитного поля (выраженное как ΔB_z(т)) от поперечной ядерной намагниченности; это используется для объяснения Т₂^*. Это также термин, который стоит за МРТ: генерируется системой градиентной катушки.
• В я γ B_ху′(т) M_z(т) описывает влияние радиочастотного поля ( B_ху′(т) фактор) от ядерной намагниченности. См. Пример ниже.
• - M_ху′(т) / Т₂ описывает потерю когерентности поперечной намагниченности.

Аналогично уравнение движения M_z во вращающейся системе отсчета:

${\displaystyle {\frac {dM_{z}'(t)}{dt}}=i{\frac {\gamma }{2}}\left(M'_{xy}(t){\overline {B'_{xy}(t)}}-{\overline {M'_{xy}}}(t)B'_{xy}(t)\right)-{\frac {M_{z}-M_{0}}{T_{1}}}}$

Независимая от времени форма уравнений во вращающейся системе отсчета

Когда внешнее поле имеет вид:

${\displaystyle B_{x}(t)=B_{1}\cos \omega t}$

${\displaystyle B_{y}(t)=-B_{1}\sin \omega t}$

${\displaystyle B_{z}(t)=B_{0}}$,

Мы определяем:

${\displaystyle \epsilon =\gamma B_{1}}$ и :${\displaystyle \Delta =\gamma B_{0}-\omega }$ ,

и получаем (в матрично-векторной записи):

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\begin{array}{c}M'_{x}\\M'_{y}\\M'_{z}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{ccc}-{\frac {1}{T_{2}}}&\Delta &0\\-\Delta &-{\frac {1}{T_{2}}}&\epsilon \\0&-\epsilon &-{\frac {1}{T_{1}}}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}M'_{x}\\M'_{y}\\M'_{z}\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}0\\0\\{\frac {M_{0}}{T_{1}}}\end{array}}\right)}$

Простые решения

Релаксация поперечной ядерной намагниченности M_ху

Предположить, что:

• Ядерная намагниченность подвергается воздействию постоянного внешнего магнитного поля в z направление B_z′(т) = B_z(т) = B₀. Таким образом, ω₀ = γB₀ и ΔB_z(т) = 0.
• Нет РФ, то есть B_ху' = 0.
• Вращающаяся система отсчета вращается с угловой частотой Ω = ω₀.

Тогда во вращающейся системе отсчета уравнение движения для поперечной ядерной намагниченности, M_ху'(т) упрощается до:

${\displaystyle {\frac {dM_{xy}'(t)}{dt}}=-{\frac {M_{xy}'}{T_{2}}}}$

Это линейное обыкновенное дифференциальное уравнение, и его решением является

${\displaystyle M_{xy}'(t)=M_{xy}'(0)e^{-t/T_{2}}}$.

куда M_ху'(0) - поперечная ядерная намагниченность во вращающейся системе отсчета в момент времени т = 0. Это начальное условие для дифференциального уравнения.

Обратите внимание, что когда вращающаяся система отсчета вращается точно на ларморовской частоте (это физический смысл сделанного выше предположения Ω = ω₀), вектор поперечной ядерной намагниченности, M_ху(т) кажется неподвижным.

Релаксация продольной ядерной намагниченности M_z

Предположить, что:

• Ядерная намагниченность подвергается воздействию постоянного внешнего магнитного поля в z направление B_z′(т) = B_z(т) = B₀. Таким образом, ω₀ = γB₀ и ΔB_z(т) = 0.
• Нет РФ, то есть B_ху' = 0.
• Вращающаяся система отсчета вращается с угловой частотой Ω = ω₀.

Тогда во вращающейся системе отсчета уравнение движения для продольной ядерной намагниченности, M_z(т) упрощается до:

${\displaystyle {\frac {dM_{z}(t)}{dt}}=-{\frac {M_{z}(t)-M_{z,\mathrm {eq} }}{T_{1}}}}$

Это линейное обыкновенное дифференциальное уравнение, и его решением является

${\displaystyle M_{z}(t)=M_{z,\mathrm {eq} }-[M_{z,\mathrm {eq} }-M_{z}(0)]e^{-t/T_{1}}}$

куда M_z(0) - продольная ядерная намагниченность во вращающейся системе отсчета в момент времени т = 0. Это начальное условие для дифференциального уравнения.

ВЧ-импульсы 90 и 180 °

Предположить, что:

• Ядерная намагниченность подвергается воздействию постоянного внешнего магнитного поля в z направление B_z′(т) = B_z(т) = B₀. Таким образом, ω₀ = γB₀ и ΔB_z(т) = 0.
• В т = 0 РЧ импульс постоянной амплитуды и частоты ω₀ применяется. То есть B '_ху(т) = B '_ху постоянно. Длительность этого импульса τ.
• Вращающаяся система отсчета вращается с угловой частотой Ω = ω₀.
• Т₁ и Т₂ → ∞. Практически это означает, что τ ≪ Т₁ и Т₂.

Тогда при 0 ≤ т ≤ τ:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt}}=i\gamma B_{xy}'M_{z}(t)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\frac {dM_{z}(t)}{dt}}=i{\frac {\gamma }{2}}\left(M'_{xy}(t){\overline {B'_{xy}}}-{\overline {M'_{xy}}}(t)B'_{xy}\right)}$

Смотрите также

• В Уравнение Блоха – Торри является обобщением уравнений Блоха, которое включает добавленные члены из-за переноса намагниченности за счет диффузии.^[2]

Рекомендации

1. Ф. Блох, "Ядерная индукция ", Физический обзор 70, 4604–73 (1946)
2. Торри, Х.С. (1956). «Уравнения Блоха с диффузионными членами». Физический обзор. 104 (3): 563–565. Bibcode:1956ПхРв..104..563Т. Дои:10.1103 / PhysRev.104.563. (1956)

дальнейшее чтение

• Чарльз Киттель, Введение в физику твердого тела, John Wiley & Sons, 8-е издание (2004 г.), ISBN  978-0-471-41526-8. Глава 13 посвящена магнитному резонансу.