Неравенство Маклорена - Maclaurins inequality

В математика, Неравенство Маклорена, названный в честь Колин Маклорен, является уточнением неравенство средних арифметических и геометрических.

Позволять а₁, а₂, ..., а_п быть положительный действительные числа, и для k = 1, 2, ..., п определить средние S_k следующее:

${\displaystyle S_{k}={\frac {\displaystyle \sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}a_{i_{1}}a_{i_{2}}\cdots a_{i_{k}}}{\displaystyle {n \choose k}}}.}$

В числителе этой дроби элементарный симметричный многочлен степени k в п переменные а₁, а₂, ..., а_п, то есть сумма всех произведений k номеров а₁, а₂, ..., а_п с индексами в порядке возрастания. Знаменатель - это количество членов в числителе, биномиальный коэффициент ${\displaystyle \scriptstyle {n \choose k}.}$

Неравенство Маклорена представляет собой следующую цепочку неравенство:

${\displaystyle S_{1}\geq {\sqrt {S_{2}}}\geq {\sqrt[{3}]{S_{3}}}\geq \cdots \geq {\sqrt[{n}]{S_{n}}}}$

с равенством тогда и только тогда, когда все а_я равны.

За п = 2, это дает обычное неравенство средних арифметических и геометрических двух чисел. Неравенство Маклорена хорошо иллюстрируется случаем п = 4:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad {\frac {a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}{4}}\\[8pt]&{}\geq {\sqrt {\frac {a_{1}a_{2}+a_{1}a_{3}+a_{1}a_{4}+a_{2}a_{3}+a_{2}a_{4}+a_{3}a_{4}}{6}}}\\[8pt]&{}\geq {\sqrt[{3}]{\frac {a_{1}a_{2}a_{3}+a_{1}a_{2}a_{4}+a_{1}a_{3}a_{4}+a_{2}a_{3}a_{4}}{4}}}\\[8pt]&{}\geq {\sqrt[{4}]{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}}}.\end{aligned}}}$

Неравенство Маклорена можно доказать с помощью Неравенства Ньютона.

Смотрите также

• Неравенства Ньютона
• Неравенство Мюрхеда
• Обобщенное среднее неравенство

Рекомендации

• Билер, Петр; Витковски, Альфред (1990). Проблемы математического анализа. Нью-Йорк, Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN  0-8247-8312-3.

Эта статья включает материал из Неравенства МакЛорина по PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.