Теорема Лумана – Меншгофа - Looman–Menchoff theorem

в математический поле комплексный анализ, то Теорема Лумана – Меншгофа заявляет, что непрерывный сложный -значная функция, определенная в открытый набор из комплексная плоскость является голоморфный тогда и только тогда, когда он удовлетворяет Уравнения Коши – Римана. Таким образом, это обобщение теоремы Эдуард Гурса, что вместо предположения о непрерывности ж, предполагает его Дифференцируемость по Фреше когда рассматривается как функция от подмножества р² к р².

Полная формулировка теоремы такова:

• Пусть Ω - открытое множество в C и ж : Ω → C - непрерывная функция. Предположим, что частные производные ${displaystyle partial f/partial x}$ и ${displaystyle partial f/partial y}$ существуют всюду, кроме счетного множества в Ω. потом ж голоморфен тогда и только тогда, когда он удовлетворяет уравнению Коши – Римана:

${displaystyle {frac {partial f}{partial {ar {z}}}}={frac {1}{2}}left({frac {partial f}{partial x}}+i{frac {partial f}{partial y}}ight)=0.}$

Примеры

Луман указал, что функция, заданная ж(z) = ехр (-z⁻⁴) за z ≠ 0, ж(0) = 0 всюду удовлетворяет уравнениям Коши – Римана, но не является аналитическим (или даже непрерывным) приz = 0. Это показывает, что функция ж в теореме следует считать непрерывным.

Функция, заданная ж(z) = z⁵/|z|⁴ за z ≠ 0, ж(0) = 0 непрерывно всюду и удовлетворяет уравнениям Коши – Римана при z = 0, но не аналитичен при z = 0 (или где-нибудь еще). Это показывает, что наивное обобщение теоремы Лумана – Меншгофа на одну точку имеет вид ложный:

• Позволять ж быть непрерывным в окрестности точки z, и такой, что ${displaystyle partial f/partial x}$ и ${displaystyle partial f/partial y}$ существовать в z. потом ж голоморфна в z тогда и только тогда, когда он удовлетворяет уравнению Коши – Римана в точке z.

Рекомендации

• Gray, J.D .; Моррис, С. А. (1978), "Когда функция, удовлетворяющая уравнениям Коши-Римана, аналитична?", Американский математический ежемесячник (опубликовано в апреле 1978 г.), 85 (4): 246–256, Дои:10.2307/2321164, JSTOR  2321164.
• Looman, H. (1923), "Über die Cauchy – Riemannschen Differentialgleichungen", Göttinger Nachrichten: 97–108.
• Меншофф, Д. (1936), Les conditions de monogénéité, Париж.
• Montel, P. (1913), "Sur les différentielles totales et les fonctions monogènes", C. R. Acad. Sci. Париж, 156: 1820–1822.
• Нарасимхан, Рагхаван (2001), Комплексный анализ в одной переменной, Биркхойзер, ISBN  0-8176-4164-5.