Лог-полярные координаты - Log-polar coordinates

В математика, лог-полярные координаты (или же логарифмические полярные координаты) это система координат в двух измерениях, где точка обозначается двумя цифрами, одна для логарифм расстояния до определенной точки, и один для угол. Лог-полярные координаты тесно связаны с полярные координаты, которые обычно используются для описания областей на плоскости с некоторой вращательная симметрия. В таких областях, как гармонический и комплексный анализ, лог-полярные координаты более каноничны, чем полярные.

Определение и преобразования координат

Лог-полярные координаты на плоскости состоят из пары действительных чисел (ρ, θ), где ρ - логарифм расстояния между данной точкой и источник и θ - угол между линией отсчета ( Икс-axis) и линию, проходящую через начало координат и точку. Угловая координата такая же, как и для полярных координат, а радиальная координата преобразуется по правилу

${\displaystyle r=e^{\rho }}$.

куда ${\displaystyle r}$ расстояние до начала координат. Формулы преобразования из Декартовы координаты к лог-полярным координатам даются

${\displaystyle {\begin{cases}\rho =\log {\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\\\theta =\arctan y/x{\hbox{ if }}x>0.\end{cases}}}$^{[сомнительный ]}

а формулы для преобразования лог-полярных координат в декартовы имеют вид

${\displaystyle {\begin{cases}x=e^{\rho }\cos \theta ,\\y=e^{\rho }\sin \theta .\end{cases}}}$

Используя комплексные числа (Икс, у) = Икс + иу, последнее преобразование можно записать как

${\displaystyle x+iy=e^{\rho +i\theta }}$

т.е. комплексная экспоненциальная функция. Из этого следует, что основные уравнения в гармоническом и комплексном анализе будут иметь такую ​​же простую форму, что и в декартовых координатах. Это не относится к полярным координатам.

Некоторые важные уравнения в лог-полярных координатах

Уравнение Лапласа

Уравнение Лапласа в двух измерениях дается

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0}$

в декартовых координатах. Запись того же уравнения в полярных координатах дает более сложное уравнение

${\displaystyle r{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \theta ^{2}}}=0}$

или эквивалентно

${\displaystyle \left(r{\frac {\partial }{\partial r}}\right)^{2}u+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \theta ^{2}}}=0}$

Однако из соотношения ${\displaystyle r=e^{\rho }}$ следует, что ${\displaystyle r{\frac {\partial }{\partial r}}={\frac {\partial }{\partial \rho }}}$ так что уравнение Лапласа в лог-полярных координатах,

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial \rho ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \theta ^{2}}}=0}$

имеет то же простое выражение, что и в декартовых координатах. Это верно для всех систем координат, где преобразование в декартовы координаты задается конформное отображение. Таким образом, при рассмотрении уравнения Лапласа для части плоскости с вращательной симметрией, например круговой диск, лог-полярные координаты - естественный выбор.

Уравнения Коши – Римана

Аналогичная ситуация возникает при рассмотрении аналитические функции. Аналитическая функция ${\displaystyle f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)}$ в декартовых координатах удовлетворяет уравнениям Коши – Римана:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}},\ \ \ \ \ \ {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}}$

Если вместо этого функция выражается в полярной форме ${\displaystyle f(re^{i\theta })=Re^{i\Phi }}$, уравнения Коши – Римана принимают более сложный вид

${\displaystyle r{\frac {\partial \log R}{\partial r}}={\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }},\ \ \ \ \ \ {\frac {\partial \log R}{\partial \theta }}=-r{\frac {\partial \Phi }{\partial r}},}$

Как и в случае с уравнением Лапласа, простая форма декартовых координат восстанавливается путем преобразования полярных координат в логополярные (пусть ${\displaystyle P=\log R}$):

${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial \rho }}={\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }},\ \ \ \ \ \ {\frac {\partial P}{\partial \theta }}=-{\frac {\partial \Phi }{\partial \rho }}}$

Уравнения Коши – Римана также можно записать в одном уравнении в виде

${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)f(x+iy)=0}$

Выражая ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}}$ и ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}}$ с точки зрения ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \rho }}}$ и ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}}$ это уравнение можно записать в эквивалентной форме

${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial \rho }}+i{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)f(e^{\rho +i\theta })=0}$

Уравнение Эйлера

Когда кто-то хочет решить задачу Дирихле в области с вращательной симметрией, обычно нужно использовать метод разделения переменных для уравнений в частных производных для уравнения Лапласа в полярной форме. Это означает, что вы пишете ${\displaystyle u(r,\theta )=R(r)\Theta (\theta )}$. Затем уравнение Лапласа разделяется на два обыкновенных дифференциальных уравнения

${\displaystyle {\begin{cases}\Theta ''(\theta )+\nu ^{2}\Theta (\theta )=0\\r^{2}R''(r)+rR'(r)-\nu ^{2}R(r)=0\end{cases}}}$

куда ${\displaystyle \nu }$ является константой. Первый из них имеет постоянные коэффициенты и легко решается. Второй - частный случай уравнения Эйлера

${\displaystyle r^{2}R''(r)+crR'(r)+dR(r)=0}$

куда ${\displaystyle c,d}$ являются константами. Это уравнение обычно решается анзацем ${\displaystyle R(r)=r^{\lambda }}$, но с помощью лог-полярного радиуса его можно преобразовать в уравнение с постоянными коэффициентами:

${\displaystyle P''(\rho )+(c-1)P'(\rho )+dP(\rho )=0}$

При рассмотрении уравнения Лапласа ${\displaystyle c=1}$ и ${\displaystyle d=-\nu ^{2}}$ так что уравнение для ${\displaystyle r}$ принимает простую форму

${\displaystyle P''(\rho )-\nu ^{2}P(\rho )=0}$

При решении задачи Дирихле в декартовых координатах это в точности уравнения для ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$. Таким образом, снова естественным выбором для домена с вращательной симметрией являются не полярные, а скорее лог-полярные координаты.

Дискретная геометрия

Дискретная система координат в круглом диске, заданная логополярными координатами (п = 25)

Дискретная система координат в круглом диске, которую легко выразить в логополярных координатах (п = 25)

Часть фрактала Мандельброта, демонстрирующая спиральное поведение

Чтобы решить УЧП численно в области, в этой области должна быть введена дискретная система координат. Если домен имеет вращательную симметрию и вам нужна сетка, состоящая из прямоугольников, полярные координаты - плохой выбор, поскольку в центре круга они образуют треугольники, а не прямоугольники. Однако это можно исправить, введя лог-полярные координаты следующим образом. Разделите самолет на сетку квадратов со стороной 2.${\displaystyle \pi }$/п, куда п положительное целое число. Используйте комплексную экспоненциальную функцию, чтобы создать лог-полярную сетку на плоскости. Затем левая полуплоскость отображается на единичный диск с числом радиусов, равнымп. Вместо этого может быть даже более выгодно отобразить диагонали в этих квадратах, что дает дискретную систему координат в единичном диске, состоящем из спиралей, см. Рисунок справа.

Оператор Дирихле-Неймана

Последняя система координат подходит, например, для решения задач Дирихле и Неймана. Если дискретная система координат интерпретируется как неориентированный граф в единичном диске, ее можно рассматривать как модель для электрической сети. С каждым отрезком линии на графике связана проводимость, заданная функцией ${\displaystyle \gamma }$. Тогда электрическая сеть будет служить дискретной моделью для задачи Дирихле в единичном диске, где уравнение Лапласа принимает форму закона Кирхгофа. В узлах на границе круга определяется электрический потенциал (данные Дирихле), который индуцирует электрический ток (данные Неймана) через граничные узлы. Линейный оператор ${\displaystyle \Lambda _{\gamma }}$ от данных Дирихле к данным Неймана называется Оператор Дирихле-Неймана, и зависит от топологии и проводимости сети.

В случае сплошного диска следует, что если проводимость однородна, скажем, ${\displaystyle \gamma =1}$ везде, то Оператор Дирихле-Неймана удовлетворяет следующему уравнению

${\displaystyle \Lambda _{\gamma }^{2}+{\frac {\partial ^{2}\ }{\partial \theta ^{2}}}=0}$

Чтобы получить хорошую дискретную модель задачи Дирихле, было бы полезно найти граф в единичном круге, чей (дискретный) оператор Дирихле-Неймана обладает тем же свойством. Несмотря на то, что полярные координаты не дают нам никакого ответа, это приблизительно / асимптотически, что нам дает вращательно-симметричная сеть, заданная логополярными координатами.^[1]

Анализ изображений

Уже в конце 1970-х годов приложения для дискретной спиральной системы координат были даны в анализе изображений. Представление изображения в этой системе координат, а не в декартовых координатах, дает вычислительные преимущества при повороте или масштабировании изображения. Кроме того, фоторецепторы в сетчатке глаза человека распределены таким образом, чтобы иметь большое сходство со спиральной системой координат.^[2] Его также можно найти во фрактале Мандельброта (см. Рисунок справа).

Лог-полярные координаты также можно использовать для построения быстрых методов преобразования Радона и его обратного.^[3]

Смотрите также

• Полярные координаты
• Декартовы координаты
• Цилиндрические координаты
• Сферические координаты

внешняя ссылка

• Сайт неньютоновского исчисления

Рекомендации

1. https://www.academia.edu/19660770/On_square_root_of_minus_Laplacian
2. Вейман, Чайкин, Логарифмические спиральные сетки для обработки и отображения изображений, Компьютерная графика и обработка изображений 11, 197–226 (1979).
3. Андерссон, Фредрик, Быстрая инверсия преобразования Радона с использованием лог-полярных координат и частичных обратных проекций, SIAM J. Appl. Математика. 65, 818–837 (2005).