Пересечение прямой и плоскости - Line–plane intersection

Три возможных отношения плоскости к линии в трех измерениях. (В каждом случае показана только часть плоскости, которая простирается бесконечно далеко.)

В аналитических геометрия, то пересечение линия и самолет в трехмерное пространство может быть пустой набор, а точка, или строку. Это вся линия, если эта линия встроена в плоскость, и пустое множество, если линия параллельна плоскости, но вне ее. В противном случае линия пересекает плоскость в одной точке.

Различение этих случаев и определение уравнений для точки и линии в последних случаях используются в компьютерная графика, планирование движения, и обнаружение столкновения.

Алгебраическая форма

В векторные обозначения, плоскость можно представить в виде множества точек ${\displaystyle \mathbf {p} }$ для которого

${\displaystyle (\mathbf {p} -\mathbf {p_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0}$

где ${\displaystyle \mathbf {n} }$ это нормальный вектор к самолету и ${\displaystyle \mathbf {p_{0}} }$ это точка на плоскости. (Обозначение ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$ обозначает скалярное произведение векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$.)

Векторное уравнение для прямой имеет вид

${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {l_{0}} +\mathbf {l} \ d\quad d\in \mathbb {R} }$

где ${\displaystyle \mathbf {l} }$ - вектор в направлении прямой, ${\displaystyle \mathbf {l_{0}} }$ точка на линии, а ${\displaystyle d}$ является скаляром в настоящий номер домен. Подставляя уравнение для прямой в уравнение для плоскости, получаем

${\displaystyle ((\mathbf {l_{0}} +\mathbf {l} \ d)-\mathbf {p_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0.}$

Расширение дает

${\displaystyle (\mathbf {l} \cdot \mathbf {n} )\ d+(\mathbf {l_{0}} -\mathbf {p_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0.}$

И решение для ${\displaystyle d}$ дает

${\displaystyle d={(\mathbf {p_{0}} -\mathbf {l_{0}} )\cdot \mathbf {n} \over \mathbf {l} \cdot \mathbf {n} }.}$

Если ${\displaystyle \mathbf {l} \cdot \mathbf {n} =0}$ тогда прямая и плоскость параллельны. Будет два случая: если ${\displaystyle (\mathbf {p_{0}} -\mathbf {l_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0}$ тогда линия содержится в плоскости, то есть линия пересекает плоскость в каждой точке линии. В противном случае прямая и плоскость не пересекаются.

Если ${\displaystyle \mathbf {l} \cdot \mathbf {n} \neq 0}$ есть единственная точка пересечения. Значение ${\displaystyle d}$ можно вычислить, а точка пересечения задается формулой

${\displaystyle \mathbf {l_{0}} +\mathbf {l} \ d}$.

Параметрическая форма

Пересечение прямой и плоскости.

Линия описывается всеми точками, которые находятся в заданном направлении от точки. Общая точка на прямой, проходящей через точки ${\displaystyle \mathbf {l} _{a}=(x_{a},y_{a},z_{a})}$ и ${\displaystyle \mathbf {l} _{b}=(x_{b},y_{b},z_{b})}$ можно представить как

${\displaystyle \mathbf {l} _{a}+\mathbf {l} _{ab}t,\quad t\in \mathbb {R} ,}$

где ${\displaystyle \mathbf {l} _{ab}=\mathbf {l} _{b}-\mathbf {l} _{a}}$ вектор, указывающий из ${\displaystyle \mathbf {l} _{a}}$ к ${\displaystyle \mathbf {l} _{b}}$.

Аналогичным образом общая точка на плоскости определяется треугольником, определяемым точками ${\displaystyle \mathbf {p} _{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}$, ${\displaystyle \mathbf {p} _{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})}$ и ${\displaystyle \mathbf {p} _{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})}$ можно представить как

${\displaystyle \mathbf {p} _{0}+\mathbf {p} _{01}u+\mathbf {p} _{02}v,\quad u,v\in \mathbb {R} ,}$

где ${\displaystyle \mathbf {p} _{01}=\mathbf {p} _{1}-\mathbf {p} _{0}}$ это вектор, указывающий из ${\displaystyle \mathbf {p} _{0}}$ к ${\displaystyle \mathbf {p} _{1}}$, и ${\displaystyle \mathbf {p} _{02}=\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{0}}$ вектор, указывающий из ${\displaystyle \mathbf {p} _{0}}$ к ${\displaystyle \mathbf {p} _{2}}$.

Таким образом, точка, в которой линия пересекает плоскость, описывается установкой точки на прямой равной точке на плоскости, что дает параметрическое уравнение:

${\displaystyle \mathbf {l} _{a}+\mathbf {l} _{ab}t=\mathbf {p} _{0}+\mathbf {p} _{01}u+\mathbf {p} _{02}v.}$

Это можно переписать как

${\displaystyle \mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0}=-\mathbf {l} _{ab}t+\mathbf {p} _{01}u+\mathbf {p} _{02}v,}$

которая может быть выражена в матричной форме как

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\mathbf {l} _{ab}&\mathbf {p} _{01}&\mathbf {p} _{02}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}},}$

где векторы записываются как векторы-столбцы.

Это дает система линейных уравнений который может быть решен для ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$. Если решение удовлетворяет условию ${\displaystyle t\in [0,1],}$, то точка пересечения находится на отрезке прямой между ${\displaystyle \mathbf {l} _{a}}$ и ${\displaystyle \mathbf {l} _{b}}$, иначе это где-нибудь на линии. Аналогично, если решение удовлетворяет ${\displaystyle u,v\in [0,1],}$, то точка пересечения находится в параллелограмм сформированный точкой ${\displaystyle \mathbf {p} _{0}}$ и векторы ${\displaystyle \mathbf {p} _{01}}$ и ${\displaystyle \mathbf {p} _{02}}$. Если решение дополнительно удовлетворяет ${\displaystyle (u+v)\leq 1}$, то точка пересечения лежит в треугольнике, образованном тремя точками ${\displaystyle \mathbf {p} _{0}}$, ${\displaystyle \mathbf {p} _{1}}$ и ${\displaystyle \mathbf {p} _{2}}$.

Определитель матрицы можно вычислить как

${\displaystyle \det({\begin{bmatrix}-\mathbf {l} _{ab}&\mathbf {p} _{01}&\mathbf {p} _{02}\end{bmatrix}})=-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02}).}$

Если определитель равен нулю, то единственного решения нет; линия находится либо в плоскости, либо параллельно ей.

Если существует единственное решение (определитель не равен 0), то его можно найти с помощью инвертирование матрица и перестановка:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\mathbf {l} _{ab}&\mathbf {p} _{01}&\mathbf {p} _{02}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0}\end{bmatrix}},}$

который расширяется до

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}}={\frac {1}{-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}}{\begin{bmatrix}{(\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}^{\mathrm {T} }\\{(\mathbf {p} _{02}\times -\mathbf {l} _{ab})}^{\mathrm {T} }\\{(-\mathbf {l} _{ab}\times \mathbf {p} _{01})}^{\mathrm {T} }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0}\end{bmatrix}}}$

а затем в

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}}={\frac {1}{-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}}{\begin{bmatrix}{(\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})\\{(\mathbf {p} _{02}\times -\mathbf {l} _{ab})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})\\{(-\mathbf {l} _{ab}\times \mathbf {p} _{01})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})\end{bmatrix}},}$

таким образом давая решения:

${\displaystyle t={\frac {{(\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})}{-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}}}$

${\displaystyle u={\frac {{(\mathbf {p} _{02}\times -\mathbf {l} _{ab})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})}{-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}}}$

${\displaystyle v={\frac {{(-\mathbf {l} _{ab}\times \mathbf {p} _{01})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})}{-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}}.}$

Тогда точка пересечения равна

${\displaystyle \mathbf {l} _{a}+\mathbf {l} _{ab}t}$

Использует

в трассировка лучей метод компьютерная графика Поверхность можно представить как набор кусков плоскостей. Пересечение луча света с каждой плоскостью используется для создания изображения поверхности. В основе видения 3D реконструкция, подполе компьютерного зрения, значения глубины обычно измеряются с помощью так называемого метода триангуляции, который находит пересечение между световой плоскостью и лучом, отраженным в камеру.

Алгоритм можно обобщить на пересечение с другими плоскими фигурами, в частности, с пересечение многогранника с линией.

Смотрите также

• Координаты Плюккера # Встреча на самолете вычисление пересечения, когда линия выражается координатами Плюккера.
• Пересечение плоскости с плоскостью

внешняя ссылка

• Пересечения линий, сегментов и плоскостей (2D и 3D) от GeomAlgorithms.com