Алгебразначная дифференциальная форма Ли - Lie algebra-valued differential form

В дифференциальной геометрии a Алгебразначная форма Ли это дифференциальная форма со значениями в алгебре Ли. Такие формы имеют важные приложения в теории связи на основной пакет а также в теории Картановые соединения.

Формальное определение

Алгебразначный дифференциал Ли k-форма на многообразии, ${\displaystyle M}$, гладкая раздел из пучок ${\displaystyle ({\mathfrak {g}}\times M)\otimes \wedge ^{k}T^{*}M}$, куда ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ это Алгебра Ли, ${\displaystyle T^{*}M}$ это котангенсный пучок из ${\displaystyle M}$ и Λ^k обозначает k^th внешняя сила.

Клин продукт

Поскольку каждая алгебра Ли имеет билинейную Операция со скобкой Ли, произведение клина двух алгеброзначных форм Ли может быть составлено с помощью операции скобок для получения другой алгеброзначной формы Ли. Эта операция, обозначаемая ${\displaystyle [\omega \wedge \eta ]}$, определяется по формуле: для ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-значен п-форма ${\displaystyle \omega }$ и ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-значен q-форма ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle [\omega \wedge \eta ](v_{1},\cdots ,v_{p+q})={1 \over (p+q)!}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn} (\sigma )[\omega (v_{\sigma (1)},\cdots ,v_{\sigma (p)}),\eta (v_{\sigma (p+1)},\cdots ,v_{\sigma (p+q)})]}$

куда v_я- касательные векторы. Обозначение предназначено для обозначения обеих задействованных операций. Например, если ${\displaystyle \omega }$ и ${\displaystyle \eta }$ алгебразначные формы Ли, то

${\displaystyle [\omega \wedge \eta ](v_{1},v_{2})={1 \over 2}([\omega (v_{1}),\eta (v_{2})]-[\omega (v_{2}),\eta (v_{1})]).}$

Операция ${\displaystyle [\omega \wedge \eta ]}$ также можно определить как билинейную операцию над ${\displaystyle \Omega (M,{\mathfrak {g}})}$ удовлетворение

${\displaystyle [(g\otimes \alpha )\wedge (h\otimes \beta )]=[g,h]\otimes (\alpha \wedge \beta )}$

для всех ${\displaystyle g,h\in {\mathfrak {g}}}$ и ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Omega (M,\mathbb {R} )}$.

Некоторые авторы использовали обозначения ${\displaystyle [\omega ,\eta ]}$ вместо ${\displaystyle [\omega \wedge \eta ]}$. Обозначение ${\displaystyle [\omega ,\eta ]}$, который напоминает коммутатор, оправдывается тем, что если алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ матричная алгебра, то ${\displaystyle [\omega \wedge \eta ]}$ это не что иное, как градуированный коммутатор из ${\displaystyle \omega }$ и ${\displaystyle \eta }$, я. е. если ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{p}(M,{\mathfrak {g}})}$ и ${\displaystyle \eta \in \Omega ^{q}(M,{\mathfrak {g}})}$ тогда

${\displaystyle [\omega \wedge \eta ]=\omega \wedge \eta -(-1)^{pq}\eta \wedge \omega ,}$

куда ${\displaystyle \omega \wedge \eta ,\ \eta \wedge \omega \in \Omega ^{p+q}(M,{\mathfrak {g}})}$ являются произведениями клина, образованными с помощью умножения матриц на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

Операции

Позволять ${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$ быть Гомоморфизм алгебр Ли. Если φ - ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-значная форма на многообразии, то ж(φ) является ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$-значная форма на том же многообразии, полученная применением ж к значениям φ: ${\displaystyle f(\varphi )(v_{1},\dots ,v_{k})=f(\varphi (v_{1},\dots ,v_{k}))}$.

Аналогично, если ж является полилинейным функционалом на ${\displaystyle \textstyle \prod _{1}^{k}{\mathfrak {g}}}$, затем кладут^[1]

${\displaystyle f(\varphi _{1},\dots ,\varphi _{k})(v_{1},\dots ,v_{q})={1 \over q!}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn} (\sigma )f(\varphi _{1}(v_{\sigma (1)},\dots ,v_{\sigma (q_{1})}),\dots ,\varphi _{k}(v_{\sigma (q-q_{k}+1)},\dots ,v_{\sigma (q)}))}$

куда q = q₁ + … + q_k и φ_я находятся ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-значен q_я-форм. Более того, учитывая векторное пространство V, ту же формулу можно использовать для определения V-значная форма ${\displaystyle f(\varphi ,\eta )}$ когда

${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\times V\to V}$

- полилинейное отображение, φ - ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-значная форма и η V-значная форма. Обратите внимание, что когда

(*) ж([Икс, у], z) = ж(Икс, ж(у, z)) - ж(у, ж(Икс, z)),

давая ж составляет действие ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ на V; т.е. ж определяет представление

${\displaystyle \rho :{\mathfrak {g}}\to V,\rho (x)y=f(x,y)}$

и, наоборот, любое представление ρ определяет ж с условием (*). Например, если ${\displaystyle f(x,y)=[x,y]}$ (скобка ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$), то восстанавливаем определение ${\displaystyle [\cdot \wedge \cdot ]}$ приведенное выше, при ρ = ad присоединенное представительство. (Обратите внимание на связь между ж и ρ выше, таким образом, похоже на отношение между скобкой и ad.)

В общем, если α это ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$-значен п-форма и φ является V-значен q-form, то чаще пишут α⋅φ = ж(α, φ), когда ж(Т, Икс) = ТИкс. Ясно,

${\displaystyle (\alpha \cdot \phi )(v_{1},\dots ,v_{p+q})={1 \over (p+q)!}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn} (\sigma )\alpha (v_{\sigma (1)},\dots ,v_{\sigma (p)})\phi (v_{\sigma (p+1)},\dots ,v_{\sigma (p+q)}).}$

С этой записью, например:

${\displaystyle \operatorname {ad} (\alpha )\cdot \phi =[\alpha \wedge \phi ]}$.

Пример: если ω является ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-значная однозначная форма (например, форма подключения ), ρ представление ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ в векторном пространстве V и φ a V-значная нулевая форма, то

${\displaystyle \rho ([\omega \wedge \omega ])\cdot \varphi =2\rho (\omega )\cdot (\rho (\omega )\cdot \varphi ).}$^[2]

Формы со значениями в сопряженной связке

Смотрите также: сопряженный пучок

Позволять п - гладкое главное расслоение со структурной группой грамм и ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}$. грамм действует на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ через присоединенное представительство и поэтому можно сформировать связанный пакет:

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{P}=P\times _{\operatorname {Ad} }{\mathfrak {g}}.}$

Любой ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{P}}$-значные формы на базовом пространстве п находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с любыми тензорные формы на п сопряженного типа.

Смотрите также

• Форма Маурера – Картана
• Присоединенный комплект

Примечания

1. Кобаяси – Номидзу, Гл. XII, § 1. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFKobayashi – Nomizu (помощь)
2. С ${\displaystyle \rho ([\omega \wedge \omega ])(v,w)=\rho ([\omega \wedge \omega ](v,w))=\rho ([\omega (v),\omega (w)])=\rho (\omega (v))\rho (\omega (w))-\rho (\omega (w))\rho (\omega (v))}$у нас есть это

   ${\displaystyle (\rho ([\omega \wedge \omega ])\cdot \phi )(v,w)={1 \over 2}(\rho ([\omega \wedge \omega ])(v,w)\phi -\rho ([\omega \wedge \omega ])(w,v)\phi )}$

   является ${\displaystyle \rho (\omega (v))\rho (\omega (w))\phi -\rho (\omega (w))\rho (\omega (v))\phi =2(\rho (\omega )\cdot (\rho (\omega )\cdot \phi ))(v,w).}$

Рекомендации

• С. Кобаяси, К. Номидзу. Основы дифференциальной геометрии (Библиотека Wiley Classics) Том 1, 2.

внешняя ссылка

• Произведение клина однозначной алгебры Ли
• группоид алгеброзначных форм в nLab