Гипотеза Лемерса - Lehmers conjecture

Для гипотезы Лемера о том, что τ (п), видеть Тау-функция Рамануджана. По поводу гипотезы Лемера о тотент-функции Эйлера см. Тотальная проблема Лемера.

Гипотеза Лемера, также известный как Проблема меры Малера Лемера, проблема в теория чисел был воспитан Деррик Генри Лемер.^[1] Гипотеза утверждает, что существует абсолютная постоянная ${\displaystyle \mu >1}$ так что каждый многочлен с целыми коэффициентами ${\displaystyle P(x)\in \mathbb {Z} [x]}$ удовлетворяет одному из следующих свойств:

• В Мера Малера ${\displaystyle {\mathcal {M}}(P(x))}$ из ${\displaystyle P(x)}$ Больше или равно ${\displaystyle \mu }$.
• ${\displaystyle P(x)}$ является целым кратным произведению круговых многочленов или одночлена ${\displaystyle x}$, в таком случае ${\displaystyle {\mathcal {M}}(P(x))=1}$. (Эквивалентно, каждый комплексный корень из ${\displaystyle P(x)}$ является корнем из единицы или нуля.)

Существует ряд определений меры Малера, одно из которых - фактор ${\displaystyle P(x)}$ над ${\displaystyle \mathbb {C} }$ в качестве

${\displaystyle P(x)=a_{0}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{D}),}$

а затем установите

${\displaystyle {\mathcal {M}}(P(x))=|a_{0}|\prod _{i=1}^{D}\max(1,|\alpha _{i}|).}$

Наименьшая известная мера Малера (больше 1) предназначена для «полинома Лемера».

${\displaystyle P(x)=x^{10}+x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1\,,}$

для которого мера Малера является Номер Салема^[2]

${\displaystyle {\mathcal {M}}(P(x))=1.176280818\dots \ .}$

Широко распространено мнение, что этот пример представляет истинную минимальную ценность: ${\displaystyle \mu =1.176280818\dots }$ в гипотезе Лемера.^[3][4]

Мотивация

Рассмотрим меру Малера для одной переменной и Формула Дженсена показывает, что если ${\displaystyle P(x)=a_{0}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{D})}$ тогда

${\displaystyle {\mathcal {M}}(P(x))=|a_{0}|\prod _{i=1}^{D}\max(1,|\alpha _{i}|).}$

В этом абзаце обозначим${\displaystyle m(P)=\log({\mathcal {M}}(P(x))}$ , который также называют Мера Малера.

Если ${\displaystyle P}$ имеет целые коэффициенты, это показывает, что ${\displaystyle {\mathcal {M}}(P)}$ является алгебраическое число так ${\displaystyle m(P)}$ логарифм целого алгебраического числа. Это также показывает, что ${\displaystyle m(P)\geq 0}$ и что если ${\displaystyle m(P)=0}$ тогда ${\displaystyle P}$ продукт круговые полиномы т. е. монические многочлены, все корни которых являются корнями из единицы, или мономиальные многочлены от ${\displaystyle x}$ то есть власть ${\displaystyle x^{n}}$ для некоторых ${\displaystyle n}$ .

Лемер заметил^[1][5] который ${\displaystyle m(P)=0}$ является важным значением при изучении целочисленных последовательностей ${\displaystyle \Delta _{n}={\text{Res}}(P(x),x^{n}-1)=\prod _{i=1}^{D}(\alpha _{i}^{n}-1)}$ для моника ${\displaystyle P}$ . Если ${\displaystyle P}$ не исчезает на круге тогда ${\displaystyle \lim |\Delta _{n}|^{1/n}={\mathcal {M}}(P)}$ и это утверждение может быть правдой, даже если ${\displaystyle P}$ исчезает по кругу. Этим он был вынужден спросить

есть ли постоянная ${\displaystyle c>0}$ такой, что ${\displaystyle m(P)>c}$ при условии ${\displaystyle P}$ не циклотомический ?,

или же

данный ${\displaystyle c>0}$, здесь ${\displaystyle P}$ с целыми коэффициентами, для которых ${\displaystyle 0<m(P)<c}$?

Были даны следующие положительные ответы, но гипотеза Лемера еще не полностью доказана и все еще вызывает большой интерес.

Частичные результаты

Позволять ${\displaystyle P(x)\in \mathbb {Z} [x]}$ неприводимый монический многочлен степени ${\displaystyle D}$.

Смит ^[6] доказал, что гипотеза Лемера верна для всех многочленов, не являющихся взаимный, т.е. все многочлены, удовлетворяющие ${\displaystyle x^{D}P(x^{-1})\neq P(x)}$.

Бланксби и Монтгомери^[7] и Стюарт^[8] независимо доказал, что существует абсолютная постоянная ${\displaystyle C>1}$ так что либо ${\displaystyle {\mathcal {M}}(P(x))=1}$ или же^[9]

${\displaystyle \log {\mathcal {M}}(P(x))\geq {\frac {C}{D\log D}}.}$

Добровольский ^[10] улучшил это до

${\displaystyle \log {\mathcal {M}}(P(x))\geq C\left({\frac {\log \log D}{\log D}}\right)^{3}.}$

Добровольский получил значение C ≥ 1/1200 и асимптотически C> 1-ε для всех достаточно больших D. Вутье в 1996 г. получил C ≥ 1/4 для D ≥ 2.^[11]

Эллиптические аналоги

Позволять ${\displaystyle E/K}$ быть эллиптическая кривая определяется над числовым полем ${\displaystyle K}$, и разреши ${\displaystyle {\hat {h}}_{E}:E({\bar {K}})\to \mathbb {R} }$ быть каноническая высота функция. Каноническая высота является аналогом эллиптических кривых функции ${\displaystyle (\deg P)^{-1}\log {\mathcal {M}}(P(x))}$. Он обладает тем свойством, что ${\displaystyle {\hat {h}}_{E}(Q)=0}$ если и только если ${\displaystyle Q}$ это точка кручения в ${\displaystyle E({\bar {K}})}$. В эллиптическая гипотеза Лемера утверждает, что существует постоянная ${\displaystyle C(E/K)>0}$ такой, что

${\displaystyle {\hat {h}}_{E}(Q)\geq {\frac {C(E/K)}{D}}}$ для всех точек не кручения ${\displaystyle Q\in E({\bar {K}})}$,

куда ${\displaystyle D=[K(Q):K]}$. Если эллиптическая кривая E имеет комплексное умножение, то имеет место аналог результата Добровольского:

${\displaystyle {\hat {h}}_{E}(Q)\geq {\frac {C(E/K)}{D}}\left({\frac {\log \log D}{\log D}}\right)^{3},}$

из-за Лорана.^[12] Для произвольных эллиптических кривых наиболее известным результатом является

${\displaystyle {\hat {h}}_{E}(Q)\geq {\frac {C(E/K)}{D^{3}(\log D)^{2}}},}$

из-за Массер.^[13] Для эллиптических кривых с нецелыми j-инвариантный, это было улучшено до

${\displaystyle {\hat {h}}_{E}(Q)\geq {\frac {C(E/K)}{D^{2}(\log D)^{2}}},}$

Хиндри и Сильверман.^[14]

Ограниченные результаты

Более сильные результаты известны для ограниченных классов многочленов или алгебраических чисел.

Если п(Икс) не взаимно, то

${\displaystyle M(P)\geq M(x^{3}-x-1)\approx 1.3247}$

и это явно лучший вариант.^[15] Если в дальнейшем все коэффициенты п тогда странные^[16]

${\displaystyle M(P)\geq M(x^{2}-x-1)\approx 1.618.}$

Для любого алгебраического числа α, позволять ${\displaystyle M(\alpha )}$ - мера Малера минимального многочлена ${\displaystyle P_{\alpha }}$ из α. Если поле Q(α) это Расширение Галуа из Q, то гипотеза Лемера верна для ${\displaystyle P_{\alpha }}$.^[16]

Рекомендации

1. Лемер, Д. (1933). «Факторизация некоторых циклотомических функций». Анна. Математика. 2. 34 (3): 461–479. Дои:10.2307/1968172. HDL:10338.dmlcz / 128119. ISSN  0003-486X. JSTOR  1968172. Zbl  0007.19904.
2. Борвейн, Питер (2002). Вычислительные экскурсии по анализу и теории чисел. CMS Книги по математике. Springer-Verlag. п.16. ISBN  0-387-95444-9. Zbl  1020.12001.
3. Смит (2008) стр. 324
4. Эверест, Грэм; ван дер Поортен, Альф; Шпарлинский, Игорь; Уорд, Томас (2003). Повторяющиеся последовательности. Математические обзоры и монографии. 104. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. п. 30. ISBN  0-8218-3387-1. Zbl  1033.11006.
5. Дэвид Бойд (1981). «Спекуляции относительно диапазона меры Малера» Канад. Математика. Бык. Vol. 24 (4)
6. Смит, К. Дж. (1971). «О произведении сопряженных вне единичной окружности целого алгебраического числа». Бюллетень Лондонского математического общества. 3 (2): 169–175. Дои:10.1112 / blms / 3.2.169. Zbl  1139.11002.
7. Blanksby, P.E .; Монтгомери, Х.Л. (1971). «Целые алгебраические числа около единичного круга». Acta Arith. 18: 355–369. Дои:10.4064 / aa-18-1-355-369. Zbl  0221.12003.
8. Стюарт, К. Л. (1978). «Целые алгебраические числа, сопряженные к которым лежат около единичной окружности». Бык. Soc. Математика. Франция. 106: 169–176. Дои:10.24033 / bsmf.1868.
9. Смит (2008) стр.325
10. Добровольский Э. (1979). «К вопросу о Лемере и числе неприводимых множителей многочлена». Acta Arith. 34 (4): 391–401. Дои:10.4064 / aa-34-4-391-401.
11. П. Вутье, Эффективная нижняя оценка высоты алгебраических чисел, Acta Arith. 74 (1996), 81–95.
12. Смит (2008) стр.327
13. Массер, Д. (1989). «Счетные точки малой высоты на эллиптических кривых». Бык. Soc. Математика. Пт. 117 (2): 247–265. Дои:10.24033 / bsmf.2120. Zbl  0723.14026.
14. Хиндри, Марк; Сильверман, Джозеф Х. (1990). «О гипотезе Лемера для эллиптических кривых». В Гольдштейн, Екатерина (ред.). Семин. Теор. Номбре, Париж / Пт. 1988-89. Прог. Математика. 91. С. 103–116. ISBN  0-8176-3493-2. Zbl  0741.14013.
15. Смит (2008) стр.328
16. Смит (2008) стр.329

• Смит, Крис (2008). «Мера Малера алгебраических чисел: обзор». В Макки, Джеймс; Смит, Крис (ред.). Теория чисел и многочлены. Серия лекций Лондонского математического общества. 352. Издательство Кембриджского университета. С. 322–349. ISBN  978-0-521-71467-9.

внешняя ссылка

• http://www.cecm.sfu.ca/~mjm/Lehmer/ - хорошая справка о проблеме.
• Вайсштейн, Эрик В. "Проблема измерения Малера Лемера". MathWorld.