Большое сито - Large sieve

В большое сито метод (или семейство методов и связанных идей) в аналитическая теория чисел. Это тип сито где удаляется до половины всех классов номеров остатков, в отличие от небольших сит, таких как Сито Сельберга при этом удаляются только несколько классов остатков. Этот метод был дополнительно усилен большее сито который удаляет сколь угодно много классов вычетов.^[1]

Имя

Его название происходит от его первоначального применения: учитывая набор ${\displaystyle S\subset \{1,\ldots ,N\}}$ такие, что элементы S запрещено лежать в комплекте А_п ⊂ Z/п Z по модулю каждого простого числа п, насколько большим может S быть? Здесь А_п считается большим, т. е. по крайней мере равным постоянному времени п; если это не так, мы говорим о маленькое сито.

История

Ранняя история большого сита восходит к работе Ю. Б. Линник в 1941 г., работая над проблемой наименьший квадратичный невычет. Впоследствии Альфред Реньи работали над ней, используя вероятностные методы. Только два десятилетия спустя, после целого ряда вкладов других авторов, большое сито было сформулировано более определенным образом. Произошло это в начале 1960-х, в самостоятельной работе Клаус Рот и Энрико Бомбьери. Примерно в то же время стала лучше понятна связь с принципом двойственности. В середине 1960-х гг. Теорема Бомбьери – Виноградова. было доказано как основное применение больших сит с использованием оценок средних значений Персонажи Дирихле. В конце 1960-х - начале 1970-х годов многие ключевые компоненты и оценки были упрощены Патрик X. Галлахер.^[2]

Разработка

Методы большого сита были разработаны достаточно, чтобы их можно было применить и к ситуациям с маленькими ситами. Что-то обычно рассматривается как связанное с большим решетом, не обязательно с точки зрения того, связано ли это с типом ситуации, описанной выше, но, скорее, если оно включает один из двух методов доказательства, традиционно используемых для получения результата с большим решетом. :

Приближенное неравенство Планшереля

Если набор S плохо распределен по модулю п (в силу, например, исключения из классов конгруэнтности А_п), то коэффициенты Фурье ${\displaystyle {\widehat {f_{p}}}(a)}$ характеристической функции ж_п из набора S модп в среднем большие. Эти коэффициенты можно поднять до значений ${\displaystyle {\widehat {f}}(a/p)}$ преобразования Фурье ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ характеристической функции ж из набора S (т.е.

${\displaystyle {\widehat {f}}(a/p)={\widehat {f_{p}}}(a)}$).

Ограничивая производные, мы видим, что ${\displaystyle {\widehat {f}}(x)}$ должен быть большим, в среднем, для всех Икс около рациональных чисел вида а/п. Большой здесь означает «относительно большие постоянные времена |S| ". Поскольку

${\displaystyle |f|_{2}={\sqrt {|S|}},}$

получаем противоречие с тождеством Планшереля

${\displaystyle |{\widehat {f}}|_{2}=|f|_{2}}$

если только |S| маленький. (На практике, чтобы оптимизировать границы, люди в настоящее время модифицируют тождество Планшереля на равенство, а не на связанные производные, как указано выше.)

Принцип двойственности

Можно легко доказать сильный результат с большим решетом, отметив следующий основной факт из функционального анализа: норма линейного оператора (т. Е.

${\displaystyle \sup _{v}|Av|_{W}/|v|_{V},\,}$

куда А - оператор из линейного пространства V в линейное пространство W) равна норме своего сопряженного, т. е.

${\displaystyle \sup _{w}|A^{*}w|_{V}^{*}/|w|_{W}^{*}}$).

Сам этот принцип в некоторой математической литературе получил название «большое решето».

Также возможно получить большое сито из мажорантов в стиле Сельберга (см. Сельберг, Собрание сочинений, т. II, Лекции о ситах).

Смотрите также

• Теорема Бомбьери – Виноградова.
• Сито большего размера

Рекомендации

1. Галлахер, Патрик (1971). «Сито побольше». Acta Arithmetica. 18: 77–81.
2. Тененбаум, Джеральд (2015). Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел. Аспирантура по математике. 163. Американское математическое общество. С. 102–104. ISBN  9780821898543.

• «Большое сито», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Кожокару, Алина Кармен; Мурти, М. Рам. Введение в ситовые методы и их применение. Тексты студентов Лондонского математического общества. 66. Издательство Кембриджского университета. С. 135–155. ISBN  0-521-61275-6. Zbl  1121.11063.
• Давенпорт, Гарольд (2000). Теория мультипликативных чисел. Тексты для выпускников по математике. 74. Отредактировано и с предисловием Хью Л. Монтгомери (3-е изд.). Springer-Verlag. ISBN  0-387-95097-4. Zbl  1002.11001.
• Фридлендер, Джон; Иванец, Хенрик (2010). Опера де Крибро. Публикации коллоквиума AMS. ISBN  978-0-8218-4970-5. Zbl  1226.11099.
• Хули, Кристофер (1976). Приложения ситовых методов к теории чисел. Издательство Кембриджского университета. С. 17–20. ISBN  0-521-20915-3.
• Ковальски, Эммануэль (2008). Большое сито и его применение. Кембриджские трактаты по математике. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-88851-6.
• Тененбаум, Джеральд (1995). Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел. Кембриджские исследования по высшей математике. 46. Издательство Кембриджского университета. С. 62–73. ISBN  0-521-41261-7.