Функция Куммерса - Kummers function

В математика, есть несколько функций, известных как Функция Куммера. Один известен как конфлюэнтная гипергеометрическая функция Куммера. Другой, определенный ниже, относится к полилогарифм. Оба названы в честь Эрнст Куммер.

Функция Куммера определяется формулой

${\displaystyle \Lambda _{n}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\log ^{n-1}|t|}{1+t}}\;dt.}$

В формула дублирования является

${\displaystyle \Lambda _{n}(z)+\Lambda _{n}(-z)=2^{1-n}\Lambda _{n}(-z^{2})}$.

Сравните это с формулой дублирования для полилогарифма:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(z)+\operatorname {Li} _{n}(-z)=2^{1-n}\operatorname {Li} _{n}(z^{2}).}$

Явная ссылка на полилогарифм дается

${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(z)=\operatorname {Li} _{n}(1)\;\;+\;\;\sum _{k=1}^{n-1}(-)^{k-1}\;{\frac {\log ^{k}|z|}{k!}}\;\operatorname {Li} _{n-k}(z)\;\;+\;\;{\frac {(-)^{n-1}}{(n-1)!}}\;\left[\Lambda _{n}(-1)-\Lambda _{n}(-z)\right].}$

Рекомендации

• Левин, Леонард, изд. (1991), Структурные свойства полилогарифмов., Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN  0-8218-4532-2.