Конгруэнтность Куммерса - Kummers congruence

В математика, Сравнения Куммера некоторые совпадения с участием Числа Бернулли, найдено Эрнст Эдуард Куммер (1851 ).

Кубота и Леопольдт (1964) использовали сравнения Куммера для определения p-адическая дзета-функция.

Заявление

Простейшая форма сравнения Куммера утверждает, что

{ displaystyle { frac {B_ {h}} {h}} Equiv { frac {B_ {k}} {k}} { pmod {p}} { text {when}} h Equiv k { pmod {p-1}}}

куда п это простое число, час и k положительные четные целые числа, не делящиеся на п−1 и числа B_час находятся Числа Бернулли.

В более общем плане, если час и k положительные четные целые числа, не делящиеся на п - 1, то

{ displaystyle (1-p ^ {h-1}) { frac {B_ {h}} {h}} Equiv (1-p ^ {k-1}) { frac {B_ {k}} { k}} { pmod {p ^ {a + 1}}}}

в любое время

{ Displaystyle ч эквив К { pmod { varphi (р ^ {а + 1})}}}

где φ (п^а+1) это Функция Эйлера, оценивается в п^а+1 и а - целое неотрицательное число. В а = 0, выражение принимает более простой вид, как показано выше. Две стороны сравнения Куммера являются, по сути, значениями p-адическая дзета-функция, а сравнения Куммера подразумевают, что п-адическая дзета-функция для отрицательных целых чисел непрерывна, поэтому может быть расширена по непрерывности на все п-адические целые числа.

Смотрите также

Теорема фон Штаудта – Клаузена, другое сравнение с числами Бернулли

Конгруэнтность Куммерса - Kummers congruence

Заявление

Смотрите также

Рекомендации