Теорема фон Штаудта – Клаузена - Von Staudt–Clausen theorem

В теория чисел, то Теорема фон Штаудта – Клаузена это результат, определяющий дробная часть из Числа Бернулли, найденные независимоКарл фон Штаудт  (1840 ) и Томас Клаузен  (1840 ).

В частности, если п положительное целое число, и мы добавляем 1 /п к числу Бернулли B_2п для каждого основной п такой, что п - 1 делит 2п, получаем целое число, т.е.${\displaystyle B_{2n}+\sum _{(p-1)|2n}{\frac {1}{p}}\in \mathbb {Z} .}$

Этот факт сразу позволяет охарактеризовать знаменатели ненулевых чисел Бернулли B_2п как произведение всех простых чисел п такой, что п - 1 делит 2п; следовательно, знаменатели без квадратов и делится на 6.

Эти знаменатели

6, 30, 42, 30, 66, 2730, 6, 510, 798, 330, 138, 2730, 6, 870, 14322, 510, 6, 1919190, 6, 13530, ... (последовательность A002445 в OEIS ).

Доказательство

Доказательство теоремы фон Штаудта – Клаузена следует из явной формулы для чисел Бернулли:

${\displaystyle B_{2n}=\sum _{j=0}^{2n}{\frac {1}{j+1}}\sum _{m=0}^{j}{(-1)^{m}{j \choose m}m^{2n}}}$

и как следствие:

${\displaystyle B_{2n}=\sum _{j=0}^{2n}{\frac {j!}{j+1}}(-1)^{j}S(2n,j)}$

куда ${\displaystyle S(n,j)}$ являются Числа Стирлинга второго рода.

Кроме того, необходимы следующие леммы:
Тогда пусть p - простое число,
1. Если p-1 делит 2n тогда,

${\displaystyle \sum _{m=0}^{p-1}{(-1)^{m}{p-1 \choose m}m^{2n}}\equiv {-1}{\pmod {p}}}$

2. Если p-1 не делит 2n тогда,

${\displaystyle \sum _{m=0}^{p-1}{(-1)^{m}{p-1 \choose m}m^{2n}}\equiv 0{\pmod {p}}}$

Доказательство (1) и (2): Один из Маленькая теорема Ферма,

${\displaystyle m^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}$

за ${\displaystyle m=1,2,...,p-1}$.
Если p-1 делит 2n то есть,

${\displaystyle m^{2n}\equiv 1{\pmod {p}}}$

за ${\displaystyle m=1,2,...,p-1}$.
После этого каждый имеет

${\displaystyle \sum _{m=1}^{p-1}{(-1)^{m}{p-1 \choose m}m^{2n}}\equiv \sum _{m=1}^{p-1}{(-1)^{m}{p-1 \choose m}}{\pmod {p}}}$

откуда (1) следует немедленно.
Если p-1 не делит 2n то после теоремы Ферма имеем

${\displaystyle m^{2n}\equiv m^{2n-(p-1)}{\pmod {p}}}$

Если позволить ${\displaystyle \wp =[{\frac {2n}{p-1}}]}$ (Наибольшая целочисленная функция ) то после итерации

${\displaystyle m^{2n}\equiv m^{2n-\wp (p-1)}{\pmod {p}}}$

за ${\displaystyle m=1,2,...,p-1}$ и ${\displaystyle 0<2n-\wp (p-1)<p-1}$.
После этого каждый имеет

${\displaystyle \sum _{m=0}^{p-1}{(-1)^{m}{p-1 \choose m}m^{2n}}\equiv \sum _{m=0}^{p-1}{(-1)^{m}{p-1 \choose m}m^{2n-\wp (p-1)}}{\pmod {p}}}$

Лемма (2) теперь следует из вышеизложенного и того факта, что S(п,j) = 0 для j>п.
(3). Легко сделать вывод, что для a> 2 и b> 2, ab делит (ab-1)!.
(4). Числа Стирлинга второго рода - целые числа.

Доказательство теоремы: Теперь мы готовы доказать теорему Фон-Штаудта Клаузена,
Если j + 1 составное и j> 3 то из (3) j + 1 делит j !.
Для j = 3

${\displaystyle \sum _{m=0}^{3}{(-1)^{m}{3 \choose m}m^{2n}}=3\cdot 2^{2n}-3^{2n}-3\equiv 0{\pmod {4}}}$

Если j + 1 простое, то воспользуемся (1) и (2) и если j + 1 составна, то воспользуемся (3) и (4) вывести:

${\displaystyle B_{2n}=I_{n}-\sum _{(p-1)|2n}{\frac {1}{p}}}$

куда ${\displaystyle I_{n}}$ является целым числом, что является теоремой Фон-Штаудта Клаузена.^[1][2]

Смотрите также

• Конгруэнтность Куммера

Рекомендации

1. Х. Радемахер, Аналитическая теория чисел, Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1973.
2. Апостол Т.М., Введение в аналитическую теорию чисел, Springer-Verlag, 1976.

• Клаузен, Томас (1840 г.), «Теорема», Astronomische Nachrichten, 17 (22): 351–352, Дои:10.1002 / asna.18400172204
• Радо, Р. (1934), "Новое доказательство теоремы В. Штаудта", J. London Math. Soc., 9 (2): 85–88, Дои:10.1112 / jlms / s1-9.2.85
• фон Штаудт, гл. (1840 г.), "Beweis eines Lehrsatzes, die Bernoullischen Zahlen Betreffend", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 21: 372–374, ISSN  0075-4102, ERAM  021.0672cj

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Теорема фон Штаудта-Клаузена". MathWorld.