Теорема Колмогорова о трех рядах - Kolmogorovs three-series theorem

В теория вероятности, Теорема Колмогорова о трех рядах, названный в честь Андрей Колмогоров, дает критерий почти уверен конвергенция из бесконечная серия из случайные переменные в терминах сходимости трех различных рядов, включающих свойства их распределения вероятностей. Теорема Колмогорова о трех рядах в сочетании с Лемма Кронекера, можно использовать для сравнительно простого доказательства Сильный закон больших чисел.^[1]

Формулировка теоремы

Позволять ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ быть независимые случайные величины. Случайная серия ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }X_{n}}$ сходится почти наверняка в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ если для некоторого ${\displaystyle A>0}$, и только если для любых ${\displaystyle A>0}$:

1. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mathbb {P} (|X_{n}|\geq A)}$ сходится.
2. Позволять ${\displaystyle Y_{n}=X_{n}\mathbf {1} _{\{|X_{n}|\leq A\}}}$, тогда ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mathbb {E} [Y_{n}]}$, серия ожидаемые значения из ${\displaystyle Y_{n}}$, сходится.
3. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mathrm {var} (Y_{n})}$ сходится.

Доказательство

Достаточность условий («если»)

Условие (i) и Борель – Кантелли дать это ${\displaystyle X_{n}=Y_{n}}$ за ${\displaystyle n}$ большой, почти наверняка. Следовательно ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }X_{n}}$ сходится тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }Y_{n}}$ сходится. Условия (ii) - (iii) и Теорема Колмогорова о двух рядах дают почти надежную сходимость ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }Y_{n}}$.

Необходимость условий («только если»)

Предположим, что ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }X_{n}}$ сходится почти наверняка.

Без условия (i) по Борелю – Кантелли существовали бы некоторые ${\displaystyle A>0}$ такой, что ${\displaystyle \{|X_{n}|\geq A\}}$ бесконечно много ${\displaystyle n}$, почти наверняка. Но тогда серии разошлись бы. Следовательно, у нас должно быть условие (i).

Мы видим, что из условия (iii) следует условие (ii): Теорема Колмогорова о двух сериях вместе с условием (i), примененным к случаю ${\displaystyle A=1}$ дает сходимость ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }(Y_{n}-\mathbb {E} [Y_{n}])}$. Итак, учитывая сходимость ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }Y_{n}}$, у нас есть ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\mathbb {E} [Y_{n}]}$ сходится, поэтому следует условие (ii).

Таким образом, остается только продемонстрировать необходимость условия (iii), и мы получим полный результат. Это равносильно проверке условия (iii) для ряда${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }Z_{n}=\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }(Y_{n}-Y'_{n})}$ где для каждого ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle Y_{n}}$ и ${\displaystyle Y'_{n}}$ находятся IID - то есть использовать предположение, что ${\displaystyle \mathbb {E} [Y_{n}]=0}$, поскольку ${\displaystyle Z_{n}}$ последовательность случайных величин, ограниченных числом 2, почти наверное сходящаяся, и ${\displaystyle \mathrm {var} (Z_{n})=2\mathrm {var} (Y_{n})}$. Итак, мы хотим проверить, что если ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }Z_{n}}$ сходится, то ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\mathrm {var} (Z_{n})}$ тоже сходится. Это частный случай более общего результата из теория мартингейла с слагаемыми, равными приращениям мартингейл последовательность и одинаковые условия (${\displaystyle \mathbb {E} [Z_{n}]=0}$; серия отклонения сходится; а слагаемые ограниченный ).^[2][3][4]

Пример

В качестве иллюстрации теоремы рассмотрим пример гармонический ряд со случайными знаками:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\pm {\frac {1}{n}}.}$

Здесь, "${\displaystyle \pm }$"означает, что каждый термин ${\displaystyle 1/n}$ берется со случайным знаком, который либо ${\displaystyle 1}$ или же ${\displaystyle -1}$ с соответствующими вероятностями ${\displaystyle 1/2,\ 1/2}$, и все случайные знаки выбираются независимо. Позволять ${\displaystyle X_{n}}$ в теореме обозначают случайную величину, которая принимает значения ${\displaystyle 1/n}$ и ${\displaystyle -1/n}$ с равными вероятностями. С ${\displaystyle A=2}$ слагаемые первых двух рядов тождественно равны нулю и var (Y_п)=${\displaystyle n^{-2}}$. При этом выполняются условия теоремы, откуда следует, что гармонический ряд со случайными знаками почти наверняка сходится. С другой стороны, аналогичная серия (например) квадратного корня, обратного со случайными знаками, а именно

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\pm {\frac {1}{\sqrt {n}}},}$

расходится почти наверняка, поскольку условие (3) теоремы не выполняется. Обратите внимание, что это отличается от поведения аналогичного ряда с чередование приметы, ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}/{\sqrt {n}}}$, который действительно сходится.

Примечания

1. Дарретт, Рик. «Вероятность: теория и примеры». Продвинутая серия Даксбери, Третье издание, Томсон Брукс / Коул, 2005, Раздел 1.8, стр. 60–69.
2. Солнце, Жунфэн. Конспект лекций. http://www.math.nus.edu.sg/~matsr/ProbI/Lecture4.pdf В архиве 2018-04-17 в Wayback Machine
3. М. Лоэв, "Теория вероятностей", Princeton Univ. Press (1963), стр. Разд. 16,3
4. W. Feller, "Введение в теорию вероятностей и ее приложения", 2, Wiley (1971) pp. Sect. IX.9