Теорема Колмогорова о двух сериях - Kolmogorovs two-series theorem

В теория вероятности, Теорема Колмогорова о двух сериях результат о сходимости случайных рядов. Это следует из Неравенство Колмогорова и используется в одном из доказательств сильный закон больших чисел.

Формулировка теоремы

Позволять ${\displaystyle \left(X_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ быть независимые случайные величины с ожидаемые значения ${\displaystyle \mathbf {E} \left[X_{n}\right]=\mu _{n}}$ и отклонения ${\displaystyle \mathbf {Var} \left(X_{n}\right)=\sigma _{n}^{2}}$, так что ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu _{n}}$ сходится в ℝ и ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{n}^{2}}$ сходится в. потом ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }X_{n}}$ сходится в ℝ почти наверняка.

Доказательство

Предполагать WLOG ${\displaystyle \mu _{n}=0}$. Набор ${\displaystyle S_{N}=\sum _{n=1}^{N}X_{n}}$, и мы увидим, что ${\displaystyle \limsup _{N}S_{N}-\liminf _{N}S_{N}=0}$ с вероятностью 1.

Для каждого ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$,

$${\displaystyle \limsup _{N\to \infty }S_{N}-\liminf _{N\to \infty }S_{N}=\limsup _{N\to \infty }\left(S_{N}-S_{m}\right)-\liminf _{N\to \infty }\left(S_{N}-S_{m}\right)\leq 2\max _{k\in \mathbb {N} }\left|\sum _{i=1}^{k}X_{m+i}\right|}$$

Таким образом, для каждого ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ и ${\displaystyle \epsilon >0}$,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} \left(\limsup _{N\to \infty }\left(S_{N}-S_{m}\right)-\liminf _{N\to \infty }\left(S_{N}-S_{m}\right)\geq \epsilon \right)&\leq \mathbb {P} \left(2\max _{k\in \mathbb {N} }\left|\sum _{i=1}^{k}X_{m+i}\right|\geq \epsilon \ \right)\\&=\mathbb {P} \left(\max _{k\in \mathbb {N} }\left|\sum _{i=1}^{k}X_{m+i}\right|\geq {\frac {\epsilon }{2}}\ \right)\\&\leq \limsup _{N\to \infty }4\epsilon ^{-2}\sum _{i=m+1}^{m+N}\sigma _{i}^{2}\\&=4\epsilon ^{-2}\lim _{N\to \infty }\sum _{i=m+1}^{m+N}\sigma _{i}^{2}\end{aligned}}}$$

А второе неравенство связано с Неравенство Колмогорова.

По предположению, что ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{n}^{2}}$ сходится, то последний член стремится к 0, когда ${\displaystyle m\to \infty }$, для любого произвольного ${\displaystyle \epsilon >0}$.

Рекомендации

• Дарретт, Рик. Вероятность: теория и примеры. Продвинутая серия Даксбери, Третье издание, Томсон Брукс / Коул, 2005, Раздел 1.8, стр. 60–69.
• М. Лоэв, Теория вероятности, Princeton Univ. Press (1963), стр. Разд. 16,3
• В. Феллер, Введение в теорию вероятностей и ее приложения, 2, Wiley (1971) стр. IX.9