Лемма Кронеккера - Kroneckers lemma

В математика, Лемма Кронекера (см., например, Ширяев (1996 г., Лемма IV.3.2)) является результатом о связи между сходимостью бесконечные суммы и сходимость последовательностей. Лемма часто используется при доказательстве теорем о суммах независимых случайных величин, таких как сильная Закон больших чисел. Лемма названа в честь Немецкий математик Леопольд Кронекер.

Лемма

Если ${ Displaystyle (х_ {п}) _ {п = 1} ^ { infty}}$ бесконечная последовательность действительных чисел такая, что

{ displaystyle sum _ {m = 1} ^ { infty} x_ {m} = s}

существует и конечна, то для всех ${ Displaystyle 0$ и ${ displaystyle b_ {n} to infty}$ который

{ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {1} {b_ {n}}} sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} x_ {k} = 0.}

Доказательство

Позволять ${ displaystyle S_ {k}}$ обозначим частичные суммы Икс'с. С помощью суммирование по частям,

{ displaystyle { frac {1} {b_ {n}}} sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} x_ {k} = S_ {n} - { frac {1} {b_ {n}}} sum _ {k = 1} ^ {n-1} (b_ {k + 1} -b_ {k}) S_ {k}}

Выберите любой ε > 0. Теперь выберите N так что ${ displaystyle S_ {k}}$ является ε-рядом с s за k > N. Это можно сделать как последовательность ${ displaystyle S_ {k}}$ сходится к s. Тогда правая часть:

{ displaystyle S_ {n} - { frac {1} {b_ {n}}} sum _ {k = 1} ^ {N-1} (b_ {k + 1} -b_ {k}) S_ { k} - { frac {1} {b_ {n}}} sum _ {k = N} ^ {n-1} (b_ {k + 1} -b_ {k}) S_ {k}}

{ displaystyle = S_ {n} - { frac {1} {b_ {n}}} sum _ {k = 1} ^ {N-1} (b_ {k + 1} -b_ {k}) S_ {k} - { frac {1} {b_ {n}}} sum _ {k = N} ^ {n-1} (b_ {k + 1} -b_ {k}) s - { frac { 1} {b_ {n}}} sum _ {k = N} ^ {n-1} (b_ {k + 1} -b_ {k}) (S_ {k} -s)}

{ displaystyle = S_ {n} - { frac {1} {b_ {n}}} sum _ {k = 1} ^ {N-1} (b_ {k + 1} -b_ {k}) S_ {k} - { frac {b_ {n} -b_ {N}} {b_ {n}}} s - { frac {1} {b_ {n}}} sum _ {k = N} ^ { n-1} (b_ {k + 1} -b_ {k}) (S_ {k} -s).}

Теперь позвольте п уйти в бесконечность. Первый член достается s, который отменяется с третьим сроком. Второй член стремится к нулю (поскольку сумма является фиксированным значением). Поскольку б последовательность возрастает, последний член ограничен ${ displaystyle epsilon (b_ {n} -b_ {N}) / b_ {n} leq epsilon}$ .

Лемма Кронеккера - Kroneckers lemma

Лемма

Доказательство

Рекомендации