Теорема Кнезерса (дифференциальные уравнения) - Knesers theorem (differential equations)

В математика, в области обыкновенные дифференциальные уравнения, то Теорема Кнезера, названный в честь Адольф Кнезер, предоставляет критерии для определения того, является ли дифференциальное уравнение колеблющийся или нет.

Формулировка теоремы

Рассмотрим обыкновенное линейное однородное дифференциальное уравнение вида

${\displaystyle y''+q(x)y=0}$

с

${\displaystyle q:[0,+\infty )\to \mathbb {R} }$

непрерывный Мы говорим, что это уравнение колеблющийся если у него есть решение у с бесконечно большим числом нулей и не колеблющийся иначе.

Теорема утверждает^[1] что уравнение не осциллирует, если

${\displaystyle \limsup _{x\to +\infty }x^{2}q(x)<{\tfrac {1}{4}}}$

и колеблется, если

${\displaystyle \liminf _{x\to +\infty }x^{2}q(x)>{\tfrac {1}{4}}.}$

Пример

Чтобы проиллюстрировать теорему, рассмотрим

${\displaystyle q(x)=\left({\frac {1}{4}}-a\right)x^{-2}\quad {\text{for}}\quad x>0}$

куда ${\displaystyle a}$ является реальным и ненулевым. Согласно теореме, решения будут колебаться или нет в зависимости от того, ${\displaystyle a}$ положительный (не колеблющийся) или отрицательный (колебательный), потому что

${\displaystyle \limsup _{x\to +\infty }x^{2}q(x)=\liminf _{x\to +\infty }x^{2}q(x)={\frac {1}{4}}-a}$

Чтобы найти решения для этого выбора ${\displaystyle q(x)}$, и проверим теорему для этого примера, подставив 'Анзац'

${\displaystyle y(x)=x^{n}}$

который дает

${\displaystyle n(n-1)+{\frac {1}{4}}-a=\left(n-{\frac {1}{2}}\right)^{2}-a=0}$

Это означает, что (для ненулевых ${\displaystyle a}$) общее решение

${\displaystyle y(x)=Ax^{{\frac {1}{2}}+{\sqrt {a}}}+Bx^{{\frac {1}{2}}-{\sqrt {a}}}}$

куда ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ - произвольные постоянные.

Нетрудно заметить, что для положительного ${\displaystyle a}$ решения не колеблются, а при отрицательных ${\displaystyle a=-\omega ^{2}}$ личность

${\displaystyle x^{{\frac {1}{2}}\pm i\omega }={\sqrt {x}}\ e^{\pm (i\omega )\ln {x}}={\sqrt {x}}\ (\cos {(\omega \ln x)}\pm i\sin {(\omega \ln x)})}$

показывает, что они делают.

Общий результат следует из этого примера Теорема сравнения Штурма – Пиконе.

Расширения

Есть много расширений к этому результату. Для недавней учетной записи см.^[2]

Рекомендации

1. Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы.. Провиденс: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-8328-0.
2. Хельге Крюгер и Джеральд Тешль, Эффективные углы Прюфера и критерии относительных колебаний, J. Diff. Уравнение 245 (2008), 3823–3848 [1]