Теорема сравнения Штурма – Пиконе - Sturm–Picone comparison theorem

В математика, в области обыкновенные дифференциальные уравнения, то Теорема сравнения Штурма – Пиконе, названный в честь Жак Шарль Франсуа Штурм и Мауро Пиконе, является классической теоремой, которая дает критерии колебание и отсутствие колебаний решений некоторых линейные дифференциальные уравнения в реальном домене.

Позволять п_я, q_я я = 1, 2, - действительнозначные непрерывные функции на интервале [а, б] и разреши

1. ${\displaystyle (p_{1}(x)y^{\prime })^{\prime }+q_{1}(x)y=0}$
2. ${\displaystyle (p_{2}(x)y^{\prime })^{\prime }+q_{2}(x)y=0}$

- два однородных линейных дифференциальных уравнения второго порядка в самосопряженная форма с

${\displaystyle 0<p_{2}(x)\leq p_{1}(x)}$

и

${\displaystyle q_{1}(x)\leq q_{2}(x).}$

Позволять ты - нетривиальное решение уравнения (1) с последовательными корнями в z₁ и z₂ и разреши v - нетривиальное решение уравнения (2). Тогда имеет место одно из следующих свойств.

• Существует Икс в (z₁, z₂) такой, что v(Икс) = 0; или же
• существует λ в р такой, что v(Икс) = λты(Икс).

Первая часть заключения принадлежит Штурму (1836),^[1] а вторая (альтернативная) часть теоремы принадлежит Пиконе (1910 г.)^[2][3] чье простое доказательство было дано с использованием его теперь знаменитого Личность Пиконе. В частном случае, когда оба уравнения идентичны, получаем Теорема об отделимости Штурма.^[4]

Примечания

1. C. Sturm, Mémoire sur les équations différentielles linéaires du second ordre, J. Math. Pures Appl. 1 (1836), 106–186
2. М. Пиконе, Sui valori eccezionali di un Parameter da Cui dipende un'equazione Differenziale lineare ordinaria del second'ordine, Ann. Scuola Norm. Пиза, 11 (1909), 1–141.
3. Хинтон, Д. (2005). "Колебание Штурма 1836 года приводит к эволюции теории". Теория Штурма-Лиувилля. С. 1–1. Дои:10.1007/3-7643-7359-8_1. ISBN  3-7643-7066-1.
4. Для расширения этой важной теоремы до теоремы сравнения, включающей три или более действительных уравнения второго порядка, см. Теорема сравнения Хартмана – Мингарелли где было дано простое доказательство с использованием Личность Мингарелли

Рекомендации

• Diaz, J. B .; Маклафлин, Джойс Р. Теоремы сравнения Штурма для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Бык. Амер. Математика. Soc. 75 1969 335–339 pdf
• Генрих Гуггенхаймер (1977) Применимая геометрия, стр. 79, Кригер, Хантингтон ISBN  0-88275-368-1 .
• Тешль, Г. (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы.. Провиденс: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-8328-0.