Теорема Кнезерса (комбинаторика) - Knesers theorem (combinatorics)

В области математики, известной как аддитивная комбинаторика, Теорема Кнезера можно сослаться на одну из нескольких связанных теорем о размерах определенных суммы в абелевы группы. Они названы в честь Мартин Кнезер, опубликовавший их в 1953 г.^[1] и 1956 г.^[2] Их можно рассматривать как продолжение Теорема Коши – Дэвенпорта, что также касается сумм в группах, но ограничивается группами, порядок это простое число.^[3]

Первые три утверждения относятся к суммам, размер которых (в различных смыслах) строго меньше суммы размеров слагаемых. Последнее утверждение касается случая равенства меры Хаара в связных компактных абелевых группах.

Строгое неравенство

Если ${ displaystyle G}$ абелева группа и ${ displaystyle C}$ это подмножество ${ displaystyle G}$ , группа ${ Displaystyle H (C): = {g in G: g + C = C }}$ это стабилизатор из ${ displaystyle C}$ .

Мощность

Позволять ${ displaystyle G}$ быть абелева группа. Если ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ непустые конечные подмножества ${ displaystyle G}$ удовлетворение ${ displaystyle | A + B | <| A | + | B |}$ и ${ displaystyle H}$ стабилизатор ${ displaystyle A + B}$ , тогда ${ displaystyle { begin {align} | A + B | & = | A + H | + | B + H | - | H |. end {выравнивается}}}$

Это утверждение является следствием утверждения для групп LCA, приведенного ниже, полученного путем специализации для случая, когда объемлющая группа дискретна. Самостоятельное доказательство содержится в учебнике Натансона.^[4]

Нижняя асимптотическая плотность в натуральных числах

Основной результат статьи Кнезера 1953 г.^[1] это вариант Теорема Манна на Плотность Шнирельмана.

Если ${ displaystyle C}$ это подмножество ${ Displaystyle mathbb {N}}$ , то нижняя асимптотическая плотность из ${ displaystyle C}$ это номер ${ displaystyle { underline {d}} (C): = liminf _ {n to infty} { frac {| C cap {1, dots, n } |} {n}}}$ . Теорема Кнезера для нижней асимптотической плотности утверждает, что если ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ являются подмножествами ${ Displaystyle mathbb {N}}$ удовлетворение ${ displaystyle { underline {d}} (A + B) <{ underline {d}} (A) + { underline {d}} (B)}$ , то существует натуральное число ${ displaystyle k}$ такой, что ${ Displaystyle H: = к mathbb {N} чашка {0 }}$ удовлетворяет следующим двум условиям:

{ Displaystyle (А + В + Н) setminus (А + В)}

конечно,

и

{ displaystyle { underline {d}} (A + B) = { underline {d}} (A + H) + { underline {d}} (B + H) - { underline {d}} ( ЧАС).}

Обратите внимание, что ${ displaystyle A + B substeq A + B + H}$ , поскольку ${ displaystyle 0 in H}$ .

Мера Хаара в локально компактных абелевых (ЛКА) группах

Позволять ${ displaystyle G}$ быть группой LCA с Мера Хаара ${ displaystyle m}$ и разреши ${ displaystyle m _ {*}}$ обозначить внутренняя мера индуцированный ${ displaystyle m}$ (мы также предполагаем ${ displaystyle G}$ как обычно, хаусдорфово). Мы вынуждены рассматривать внутреннюю меру Хаара как сумму двух ${ displaystyle m}$ -измеримые наборы могут не быть ${ displaystyle m}$ -измеримый. Satz 1 статьи Кнезера 1956 г.^[2] можно сформулировать так:

Если ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ непусты ${ displaystyle m}$ -измеримые подмножества ${ displaystyle G}$ удовлетворение ${ Displaystyle м _ {*} (А + В) <м (А) + м (В)}$ , то стабилизатор ${ Displaystyle H: = H (A + B)}$ компактный и открытый. Таким образом ${ displaystyle A + B}$ компактно и открыто (а значит ${ displaystyle m}$ -измеримый), являющийся объединением конечного числа смежных классов ${ displaystyle H}$ . Более того, ${ Displaystyle m (A + B) = m (A + H) + m (B + H) -m (H).}$

Равенство в связных компактных абелевых группах

Поскольку у связанных групп нет собственных открытых подгрупп, из предыдущего утверждения сразу следует, что если ${ displaystyle G}$ подключен, то ${ Displaystyle м _ {*} (А + В) geq мин {м (А) + м (В), м (G) }}$ для всех ${ displaystyle m}$ -мерные наборы ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ . Примеры, где

{ Displaystyle м _ {*} (А + В) = м (А) + м (В) <м (G)}

(1)

можно найти, когда ${ displaystyle G}$ это тор ${ Displaystyle mathbb {T}: = mathbb {R} / mathbb {Z}}$ и ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ интервалы. Satz 2 статьи Кнезера 1956 г.^[2] говорит, что все примеры множеств, удовлетворяющих уравнению (1) с ненулевыми слагаемыми являются их очевидными модификациями. Если быть точным: если ${ displaystyle G}$ связная компактная абелева группа с мерой Хаара ${ displaystyle m,}$ ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ находятся ${ displaystyle m}$ -измеримые подмножества ${ displaystyle G}$ удовлетворение ${ displaystyle m (A)> 0, m (B)> 0}$ , и уравнение (1), то существует непрерывный сюръективный гомоморфизм ${ displaystyle phi: G to mathbb {T}}$ и есть закрытые интервалы ${ displaystyle I}$ , ${ displaystyle J}$ в ${ displaystyle mathbb {T}}$ такой, что ${ Displaystyle А substeq phi ^ {- 1} (I)}$ , ${ Displaystyle B substeq phi ^ {- 1} (J)}$ , ${ Displaystyle м (А) = м ( фи ^ {- 1} (I))}$ , и ${ Displaystyle м (В) = м ( фи ^ {- 1} (J))}$ .

Примечания

^ ^а ^б Кнезер, Мартин (1953). "Abschätzungen der asymptotischen Dichte von Summenmengen". Математика. Z. (на немецком). 58: 459–484. Zbl 0051.28104.
^ ^а ^б ^c Кнезер, Мартин (1956). «Summenmengen in lokalkompakten abelschen Gruppen». Математика. Z. (на немецком). 66: 88–110. Zbl 0073.01702.
^ Герольдингер и Ружа (2009 г.), п. 143)
^ Натансон, Мелвин Б. (1996). Аддитивная теория чисел: обратные задачи и геометрия сумм. Тексты для выпускников по математике. 165. Springer-Verlag. С. 109–132. ISBN 0-387-94655-1. Zbl 0859.11003.