Расслоение Кана - Kan fibration

В математике Кан комплексы и Расслоения Кана являются частью теории симплициальные множества. Расслоения Кана - это расслоения стандартного категория модели структуры на симплициальных множествах и поэтому имеют фундаментальное значение. Комплексы Кан - это волокнистые объекты в этой категории моделей. Название в честь Даниэль Кан.

Определения

Определение стандартного n-симплекса

Полосатый синий симплекс в области должен существовать, чтобы это отображение было расслоением Кана.

Для каждого п ≥ 0, напомним, что стандарт -суплекс, , - представимое симплициальное множество

Применяя геометрическая реализация функтор этого симплициального множества дает пространство, гомеоморфное топологический стандарт -суплекс: выпуклое подпространство в ℝп + 1 состоящий из всех точек такие, что координаты неотрицательны и в сумме равны 1.

Определение рога

Для каждого k ≤ п, это подкомплекс , то kрожок внутри , соответствующий границе п-простой, с k-я грань удалена. Формально это можно определить по-разному, например, объединение изображений п карты соответствует всем остальным граням .[1] Рога формы сидя внутри выглядит как черная буква V в верхней части соседнего изображения. Если является симплициальным множеством, то отображает

соответствуют коллекциям -симплексы, удовлетворяющие условию совместимости, по одному на каждый . В явном виде это условие можно записать следующим образом. Написать -симплексы в виде списка и требовать, чтобы

для всех с .[2]

Эти условия выполняются для -просты сидя внутри .

Определение расслоения Кана

Диаграмма подъема расслоения Кана

Карта симплициальных множеств это Расслоение Кана если для любого и , и для любых карт и такой, что (где это включение в ) существует отображение такой, что и . Сформулированное таким образом определение: очень похожий к тому из расслоения в топология (смотрите также свойство гомотопического подъема ), отсюда и название «расслоение».

Технические примечания

Используя соответствие между -симплексы симплициального множества и морфизмы (следствие Лемма Йонеды ), это определение можно записать в терминах симплексов. Изображение карты можно рассматривать как рог, как описано выше. Спрашивая, что факторы через соответствует требованию наличия -симплекс в чьи лица составляют рог из (вместе с еще одним лицом). Тогда требуемая карта соответствует симплексу в чьи лица включают рог из . На диаграмме справа показан пример в двух измерениях. Поскольку черная буква V на нижней диаграмме заполнена синим -просто, если черный V наверху соответствует ему, то полосатый синий -симплекс должен существовать вместе с пунктирно-синим -просто, отображение очевидным образом.[3]

Комплексы Кана, определенные из расслоений Кана

Симплициальный набор называется Кан комплекс если карта из , одноточечное симплициальное множество, является расслоением Кана. в категория модели для симплициальных множеств, является конечным объектом, поэтому комплекс Кана в точности совпадает с волокнистый объект. Эквивалентно это можно было бы сформулировать так: если бы каждая карта из рожка имеет продолжение на , то есть есть лифт такой, что

для карты включения , тогда является комплексом Кана. И наоборот, каждый комплекс Кана обладает этим свойством, следовательно, он дает простое техническое условие для комплекса Кана.

Примеры

Симплициальные множества из особых гомологий

Важный пример - построение особые симплексы используется для определения особые гомологии, называется сингулярный функтор[4]стр.7

.

Учитывая пространство , определим особую -симплекс X быть непрерывным отображением из стандартной топологической -симплекс (как описано выше) к ,

Взяв набор этих отображений для всех неотрицательных дает оценочный набор,

.

Чтобы превратить это в симплициальный набор, определите карты лиц к

и карты вырождения к

.

Поскольку объединение любых лица сильный деформационный отвод из , любую непрерывную функцию, заданную на этих гранях, можно продолжить до , что показывает, что является комплексом Кана.[5]

Связь с геометрической реализацией

Стоит отметить, что сингулярный функтор правый смежный к Функтор геометрической реализации

давая изоморфизм

Симплициальные множества, лежащие в основе симплициальных групп

Можно показать, что симплициальное множество, лежащее в основе симплициальная группа всегда волокит[4]стр.12. В частности, для симплициальная абелева группа, его геометрическая реализация гомотопически эквивалентна произведению пространств Эйленберга-Маклейна

В частности, это включает классификация пространств. Итак, пространства , , и бесконечные линзовые пространства соответствуют комплексам Кана некоторого симплициального множества. Фактически, это множество может быть явно построено с помощью Переписка Дольда – Кана цепного комплекса и взяв базовое симплициальное множество симплициальной абелевой группы.

Геометрические реализации малых группоидов

Другим важным источником примеров являются симплициальные множества, связанные с небольшим группоидом. . Это определяется как геометрическая реализация симплициального множества и обычно обозначается . Мы могли бы также заменить с бесконечным группоидом. Предполагается, что гомотопическая категория геометрических реализаций бесконечных группоидов эквивалентна гомотопической категории гомотопических типов. Это называется гипотезой гомотопии.

Не пример: стандартный n-симплекс

Получается стандарт -просто не комплекс Кана[6]стр.38. Конструкцию контрпримера в целом можно найти, посмотрев на низкоразмерный пример, скажем . Взяв карту отправка

дает встречный пример, так как его нельзя распространить на карту потому что карты должны сохранять порядок. Если бы была карта, пришлось бы прислать

но это не карта симплициальных множеств.

Категориальные свойства

Симплициальное обогащение и функциональные комплексы

Для симплициальных множеств существует ассоциированное симплициальное множество, называемое функциональный комплекс , где симплексы определены как

а для порядковой карты есть индуцированное отображение

(поскольку первый фактор Hom противоположен), определяемый отправкой карты к составу

Экспоненциальный закон

Этот комплекс имеет следующий экспоненциальный закон симплициальных множеств

который отправляет карту на составную карту

куда за поднял на n-симплекс .

Расслоения Кана и обратные вызовы

Учитывая (кан) расслоение и включение симплициальных множеств , существует расслоение[4] стр.21

(где находится в функциональном комплексе в категории симплициальных множеств), индуцированном коммутативной диаграммой

куда это обратная карта, полученная с помощью предварительной композиции и это карта продвижения вперед, заданная пост-композицией. В частности, из предыдущего расслоения следует и расслоения.

Приложения

Гомотопические группы комплексов Кана

В гомотопические группы фибрантного симплициального множества можно определить комбинаторно, используя рога, способом, который согласуется с гомотопическими группами топологического пространства, которое его реализует. Для комплекса Кана и вершина , как набор определяется как набор карт симплициальных множеств, укладывающихся в некоторую коммутативную диаграмму:

Обратите внимание на факт отображается в точку эквивалентно определению сферы как частное для стандартного шара

Для определения структуры группы потребуется немного больше работы. По сути, учитывая две карты есть связанный -просто такой, что дает их дополнение. Это отображение четко определено с точностью до симплициальных гомотопических классов отображений, задающих групповую структуру. Более того, группы абелевы для . За , он определяется как гомотопические классы карт вершин .

Гомотопические группы симплициальных множеств

Используя категории моделей, любой симплициальный набор имеет фибрантную замену что гомотопически эквивалентно в гомотопической категории симплициальных множеств. Тогда гомотопические группы можно определить как

куда это лифт к . Эти фибрантные замены можно рассматривать как топологический аналог разрешения цепного комплекса (например, проективное разрешение или плоское разрешение ).

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ См. Goerss and Jardine, стр. 7.
  2. ^ См. Май, стр. 2
  3. ^ Мэй использует это симплициальное определение; см. страницу 25
  4. ^ а б c Goerss, Paul G .; Джардин, Джон Ф. (2009). Симплициальная теория гомотопий. Birkhäuser Basel. ISBN  978-3-0346-0188-7. OCLC  837507571.
  5. ^ См. Май, стр. 3
  6. ^ Фридман, Грег (2016-10-03). «Элементарное иллюстрированное введение в симплициальные множества». arXiv:0809.4221 [math.AT ].

Библиография