Расслоение Кана - Kan fibration

В математике Кан комплексы и Расслоения Кана являются частью теории симплициальные множества. Расслоения Кана - это расслоения стандартного категория модели структуры на симплициальных множествах и поэтому имеют фундаментальное значение. Комплексы Кан - это волокнистые объекты в этой категории моделей. Название в честь Даниэль Кан.

Определения

Определение стандартного n-симплекса

Полосатый синий симплекс в области должен существовать, чтобы это отображение было расслоением Кана.

Для каждого п ≥ 0, напомним, что стандарт ${\displaystyle n}$-суплекс, ${\displaystyle \Delta ^{n}}$, - представимое симплициальное множество

${\displaystyle \Delta ^{n}(i)=\mathrm {Hom} _{\mathbf {\Delta } }([i],[n])}$

Применяя геометрическая реализация функтор этого симплициального множества дает пространство, гомеоморфное топологический стандарт ${\displaystyle n}$-суплекс: выпуклое подпространство в ℝ^{п + 1} состоящий из всех точек ${\displaystyle (t_{0},\dots ,t_{n})}$ такие, что координаты неотрицательны и в сумме равны 1.

Определение рога

Основная статья: Рог симплекс

Для каждого k ≤ п, это подкомплекс ${\displaystyle \Lambda _{k}^{n}}$, то kрожок внутри ${\displaystyle \Delta ^{n}}$, соответствующий границе п-простой, с k-я грань удалена. Формально это можно определить по-разному, например, объединение изображений п карты ${\displaystyle \Delta ^{n-1}\rightarrow \Delta ^{n}}$ соответствует всем остальным граням ${\displaystyle \Delta ^{n}}$.^[1] Рога формы ${\displaystyle \Lambda _{k}^{2}}$ сидя внутри ${\displaystyle \Delta ^{2}}$ выглядит как черная буква V в верхней части соседнего изображения. Если ${\displaystyle X}$ является симплициальным множеством, то отображает

${\displaystyle s:\Lambda _{k}^{n}\to X}$

соответствуют коллекциям ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n-1)}$-симплексы, удовлетворяющие условию совместимости, по одному на каждый ${\displaystyle 0\leq k\leq n-1}$. В явном виде это условие можно записать следующим образом. Написать ${\displaystyle (n-1)}$-симплексы в виде списка ${\displaystyle (s_{0},\dots ,s_{k-1},s_{k+1},\dots ,s_{n})}$ и требовать, чтобы

${\displaystyle d_{i}s_{j}=d_{j-1}s_{i}\,}$ для всех ${\displaystyle i<j}$ с ${\displaystyle i,j\neq k}$.^[2]

Эти условия выполняются для ${\displaystyle (n-1)}$-просты ${\displaystyle \Lambda _{k}^{n}}$ сидя внутри ${\displaystyle \Delta ^{n}}$.

Определение расслоения Кана

Диаграмма подъема расслоения Кана

Карта симплициальных множеств ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ это Расслоение Кана если для любого ${\displaystyle n\geq 1}$ и ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$, и для любых карт ${\displaystyle s:\Lambda _{k}^{n}\rightarrow X}$ и ${\displaystyle y:\Delta ^{n}\rightarrow Y\,}$ такой, что ${\displaystyle f\circ s=y\circ i}$ (где ${\displaystyle i}$ это включение ${\displaystyle \Lambda _{k}^{n}}$ в ${\displaystyle \Delta ^{n}}$) существует отображение ${\displaystyle x:\Delta ^{n}\rightarrow X}$ такой, что ${\displaystyle s=x\circ i}$ и ${\displaystyle y=f\circ x}$. Сформулированное таким образом определение: очень похожий к тому из расслоения в топология (смотрите также свойство гомотопического подъема ), отсюда и название «расслоение».

Технические примечания

Используя соответствие между ${\displaystyle n}$-симплексы симплициального множества ${\displaystyle X}$ и морфизмы ${\displaystyle \Delta ^{n}\to X}$ (следствие Лемма Йонеды ), это определение можно записать в терминах симплексов. Изображение карты ${\displaystyle fs:\Lambda _{k}^{n}\to Y}$ можно рассматривать как рог, как описано выше. Спрашивая, что ${\displaystyle fs}$ факторы через ${\displaystyle yi}$ соответствует требованию наличия ${\displaystyle n}$-симплекс в ${\displaystyle Y}$ чьи лица составляют рог из ${\displaystyle fs}$ (вместе с еще одним лицом). Тогда требуемая карта ${\displaystyle x:\Delta ^{n}\to X}$ соответствует симплексу в ${\displaystyle X}$ чьи лица включают рог из ${\displaystyle s}$. На диаграмме справа показан пример в двух измерениях. Поскольку черная буква V на нижней диаграмме заполнена синим ${\displaystyle 2}$-просто, если черный V наверху соответствует ему, то полосатый синий ${\displaystyle 2}$-симплекс должен существовать вместе с пунктирно-синим ${\displaystyle 1}$-просто, отображение очевидным образом.^[3]

Комплексы Кана, определенные из расслоений Кана

Симплициальный набор ${\displaystyle X}$ называется Кан комплекс если карта из ${\displaystyle X\to \{*\}}$, одноточечное симплициальное множество, является расслоением Кана. в категория модели для симплициальных множеств, ${\displaystyle \{*\}}$ является конечным объектом, поэтому комплекс Кана в точности совпадает с волокнистый объект. Эквивалентно это можно было бы сформулировать так: если бы каждая карта ${\displaystyle \alpha :\Lambda _{k}^{n}\to X}$ из рожка имеет продолжение на ${\displaystyle \Delta ^{n}}$, то есть есть лифт ${\displaystyle {\tilde {\alpha }}:\Delta ^{n}\to X}$ такой, что

${\displaystyle \alpha ={\tilde {\alpha }}\circ \iota }$

для карты включения ${\displaystyle \iota :\Lambda _{k}^{n}\hookrightarrow \Delta ^{n}}$, тогда ${\displaystyle X}$ является комплексом Кана. И наоборот, каждый комплекс Кана обладает этим свойством, следовательно, он дает простое техническое условие для комплекса Кана.

Примеры

Симплициальные множества из особых гомологий

Важный пример - построение особые симплексы используется для определения особые гомологии, называется сингулярный функтор^[4]стр.7

${\displaystyle S:{\text{Top}}\to s{\text{Sets}}}$.

Учитывая пространство ${\displaystyle X}$, определим особую ${\displaystyle n}$-симплекс X быть непрерывным отображением из стандартной топологической ${\displaystyle n}$-симплекс (как описано выше) к ${\displaystyle X}$,

${\displaystyle f:\Delta _{n}\to X}$

Взяв набор этих отображений для всех неотрицательных ${\displaystyle n}$ дает оценочный набор,

${\displaystyle S(X)=\coprod _{n}S_{n}(X)}$.

Чтобы превратить это в симплициальный набор, определите карты лиц ${\displaystyle d_{i}:S_{n}(X)\to S_{n-1}(X)}$ к

${\displaystyle (d_{i}f)(t_{0},\dots ,t_{n-1})=f(t_{0},\dots ,t_{i-1},0,t_{i},\dots ,t_{n-1})\,}$

и карты вырождения ${\displaystyle s_{i}:S_{n}(X)\to S_{n+1}(X)}$ к

${\displaystyle (s_{i}f)(t_{0},\dots ,t_{n+1})=f(t_{0},\dots ,t_{i-1},t_{i}+t_{i+1},t_{i+2},\dots ,t_{n+1})\,}$.

Поскольку объединение любых ${\displaystyle n+1}$ лица ${\displaystyle \Delta _{n+1}}$ сильный деформационный отвод из ${\displaystyle \Delta _{n+1}}$, любую непрерывную функцию, заданную на этих гранях, можно продолжить до ${\displaystyle \Delta _{n+1}}$, что показывает, что ${\displaystyle S(X)}$ является комплексом Кана.^[5]

Связь с геометрической реализацией

Стоит отметить, что сингулярный функтор правый смежный к Функтор геометрической реализации

${\displaystyle |\cdot |:s{\text{Sets}}\to {\text{Top}}}$

давая изоморфизм

${\displaystyle {\text{Hom}}_{\text{Top}}(|X|,Y)\cong {\text{Hom}}_{s{\text{Sets}}}(X,S(Y))}$

Симплициальные множества, лежащие в основе симплициальных групп

Можно показать, что симплициальное множество, лежащее в основе симплициальная группа всегда волокит^[4]стр.12. В частности, для симплициальная абелева группа, его геометрическая реализация гомотопически эквивалентна произведению пространств Эйленберга-Маклейна

${\displaystyle \prod _{i\in I}K(A_{i},n_{i})}$

В частности, это включает классификация пространств. Итак, пространства ${\displaystyle S^{1}\simeq K(\mathbb {Z} ,1)}$, ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }\simeq K(\mathbb {Z} ,2)}$, и бесконечные линзовые пространства ${\displaystyle L_{q}^{\infty }\simeq K(\mathbb {Z} /q,2)}$ соответствуют комплексам Кана некоторого симплициального множества. Фактически, это множество может быть явно построено с помощью Переписка Дольда – Кана цепного комплекса и взяв базовое симплициальное множество симплициальной абелевой группы.

Геометрические реализации малых группоидов

Другим важным источником примеров являются симплициальные множества, связанные с небольшим группоидом. ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$. Это определяется как геометрическая реализация симплициального множества ${\displaystyle [\Delta ^{op},{\mathcal {G}}]}$ и обычно обозначается ${\displaystyle B{\mathcal {G}}}$. Мы могли бы также заменить ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ с бесконечным группоидом. Предполагается, что гомотопическая категория геометрических реализаций бесконечных группоидов эквивалентна гомотопической категории гомотопических типов. Это называется гипотезой гомотопии.

Не пример: стандартный n-симплекс

Получается стандарт ${\displaystyle n}$-просто ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ не комплекс Кана^[6]стр.38. Конструкцию контрпримера в целом можно найти, посмотрев на низкоразмерный пример, скажем ${\displaystyle \Delta ^{1}}$. Взяв карту ${\displaystyle \Lambda _{0}^{2}\to \Delta ^{1}}$ отправка

${\displaystyle {\begin{matrix}[0,2]\mapsto [0,0]&[0,1]\mapsto [0,1]\end{matrix}}}$

дает встречный пример, так как его нельзя распространить на карту ${\displaystyle \Delta ^{2}\to \Delta ^{1}}$ потому что карты должны сохранять порядок. Если бы была карта, пришлось бы прислать

${\displaystyle {\begin{aligned}0\mapsto 0\\1\mapsto 1\\2\mapsto 0\end{aligned}}}$

но это не карта симплициальных множеств.

Категориальные свойства

Симплициальное обогащение и функциональные комплексы

Для симплициальных множеств ${\displaystyle X,Y}$ существует ассоциированное симплициальное множество, называемое функциональный комплекс ${\displaystyle {\textbf {Hom}}(X,Y)}$, где симплексы определены как

${\displaystyle {\textbf {Hom}}_{n}(X,Y)={\text{Hom}}_{s{\text{Sets}}}(X\times \Delta ^{n},Y)}$

а для порядковой карты ${\displaystyle \theta :[m]\to [n]}$ есть индуцированное отображение

${\displaystyle \theta ^{*}:{\textbf {Hom}}(X,Y)_{n}\to {\textbf {Hom}}(X,Y)_{m}}$

(поскольку первый фактор Hom противоположен), определяемый отправкой карты ${\displaystyle f:X\times \Delta ^{n}\to Y}$ к составу

${\displaystyle X\times \Delta ^{m}\xrightarrow {1\times \theta } X\times \Delta _{n}\xrightarrow {f} Y}$

Экспоненциальный закон

Этот комплекс имеет следующий экспоненциальный закон симплициальных множеств

${\displaystyle {\text{ev}}_{*}:{\text{Hom}}_{s{\text{Sets}}}(K,{\textbf {Hom}}(X,Y))\to {\text{Hom}}_{s{\text{Sets}}}(X\times K,Y)}$

который отправляет карту ${\displaystyle f:K\to {\textbf {Hom}}(X,Y)}$ на составную карту

${\displaystyle X\times K\xrightarrow {1\times g} X\times {\textbf {Hom}}(X,Y)\xrightarrow {ev} Y}$

куда ${\displaystyle ev(x,f)=f(x,\iota _{n})}$ за ${\displaystyle \iota _{n}\in {\text{Hom}}_{\Delta }([n],[n])}$ поднял на n-симплекс ${\displaystyle \Delta ^{n}}$.

Расслоения Кана и обратные вызовы

Учитывая (кан) расслоение ${\displaystyle p:X\to Y}$ и включение симплициальных множеств ${\displaystyle i:K\hookrightarrow L}$, существует расслоение^{[4] стр.21}

${\displaystyle {\textbf {Hom}}(L,X)\xrightarrow {(i^{*},p_{*})} {\textbf {Hom}}(K,X)\times _{{\textbf {Hom}}(K,Y)}{\textbf {Hom}}(L,Y)}$

(где ${\displaystyle {\textbf {Hom}}}$ находится в функциональном комплексе в категории симплициальных множеств), индуцированном коммутативной диаграммой

${\displaystyle {\begin{matrix}{\textbf {Hom}}(L,X)&\xrightarrow {p_{*}} &{\textbf {Hom}}(L,Y)\\i^{*}\downarrow &&\downarrow i^{*}\\{\textbf {Hom}}(K,X)&\xrightarrow {p_{*}} &{\textbf {Hom}}(K,Y)\end{matrix}}}$

куда ${\displaystyle i^{*}}$ это обратная карта, полученная с помощью предварительной композиции и ${\displaystyle p_{*}}$ это карта продвижения вперед, заданная пост-композицией. В частности, из предыдущего расслоения следует ${\displaystyle p_{*}:{\textbf {Hom}}(L,X)\to {\textbf {Hom}}(L,Y)}$ и ${\displaystyle i^{*}:{\textbf {Hom}}(L,Y)\to {\textbf {Hom}}(K,Y)}$ расслоения.

Приложения

Гомотопические группы комплексов Кана

В гомотопические группы фибрантного симплициального множества можно определить комбинаторно, используя рога, способом, который согласуется с гомотопическими группами топологического пространства, которое его реализует. Для комплекса Кана ${\displaystyle X}$ и вершина ${\displaystyle x:\Delta ^{0}\to X}$, как набор ${\displaystyle \pi _{n}(X,x)}$ определяется как набор карт ${\displaystyle \alpha :\Delta ^{n}\to X}$ симплициальных множеств, укладывающихся в некоторую коммутативную диаграмму:

${\displaystyle \pi _{n}(X,x)=\left\{\alpha :\Delta ^{n}\to X:{\begin{matrix}\Delta ^{n}&{\overset {\alpha }{\to }}&X\\\uparrow &&\uparrow x\\\partial \Delta ^{n}&\to &\Delta ^{0}\end{matrix}}\right\}}$

Обратите внимание на факт ${\displaystyle \partial \Delta ^{n}}$ отображается в точку эквивалентно определению сферы ${\displaystyle S^{n}}$ как частное ${\displaystyle B^{n}/\partial B^{n}}$ для стандартного шара

${\displaystyle B^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:||x||_{eu}\leq 1\}}$

Для определения структуры группы потребуется немного больше работы. По сути, учитывая две карты ${\displaystyle \alpha ,\beta :\Delta ^{n}\to X}$ есть связанный ${\displaystyle (n+1)}$-просто ${\displaystyle \omega :\Delta ^{n+1}\to X}$ такой, что ${\displaystyle d_{n}\omega :\Delta ^{n}\to X}$ дает их дополнение. Это отображение четко определено с точностью до симплициальных гомотопических классов отображений, задающих групповую структуру. Более того, группы ${\displaystyle \pi _{n}(X,x)}$ абелевы для ${\displaystyle n\geq 2}$. За ${\displaystyle \pi _{0}(X)}$, он определяется как гомотопические классы ${\displaystyle [x]}$ карт вершин ${\displaystyle x:\Delta ^{0}\to X}$.

Гомотопические группы симплициальных множеств

Используя категории моделей, любой симплициальный набор ${\displaystyle X}$ имеет фибрантную замену ${\displaystyle {\hat {X}}}$ что гомотопически эквивалентно ${\displaystyle X}$ в гомотопической категории симплициальных множеств. Тогда гомотопические группы ${\displaystyle X}$ можно определить как

${\displaystyle \pi _{n}(X,x):=\pi _{n}({\hat {X}},{\hat {x}})}$

куда ${\displaystyle {\hat {x}}}$ это лифт ${\displaystyle x:\Delta ^{0}\to X}$ к ${\displaystyle {\hat {X}}}$. Эти фибрантные замены можно рассматривать как топологический аналог разрешения цепного комплекса (например, проективное разрешение или плоское разрешение ).

Смотрите также

• Категория модели
• Симплициальная теория гомотопий
• Симплициально обогащенная категория
• Слабый комплекс Кан (также называемая квазикатегорией, ∞-категорией)
• ∞-группоид

Рекомендации

1. См. Goerss and Jardine, стр. 7.
2. См. Май, стр. 2
3. Мэй использует это симплициальное определение; см. страницу 25
4. Goerss, Paul G .; Джардин, Джон Ф. (2009). Симплициальная теория гомотопий. Birkhäuser Basel. ISBN  978-3-0346-0188-7. OCLC  837507571.
5. См. Май, стр. 3
6. Фридман, Грег (2016-10-03). «Элементарное иллюстрированное введение в симплициальные множества». arXiv:0809.4221 [math.AT ].

• Элементарное иллюстрированное введение в симплициальные множества

Библиография

• Goerss, Paul G .; Джардин, Джон Ф. (1999). Симплициальная теория гомотопий. Базель: Birkhäuser Basel. Дои:10.1007/978-3-0348-8707-6. ISBN  978-3-0348-9737-2. МИСТЕР  1711612.
• Мэй, Дж. Питер (1992) [1967]. Симплициальные объекты в алгебраической топологии. Чикагские лекции по математике. Чикаго, Иллинойс: Издательство Чикагского университета. ISBN  0-226-51180-4. МИСТЕР  1206474.