Элемент Джусис-Мерфи - Jucys–Murphy element

В математика, то Элементы Джусис-Мерфи в групповая алгебра ${\displaystyle \mathbb {C} [S_{n}]}$ из симметричная группа, названный в честь Альгимантас Адольфас Джусис и Г. Э. Мерфи, определяются как сумма транспозиции по формуле:

${\displaystyle X_{1}=0,~~~X_{k}=(1k)+(2k)+\cdots +(k-1\ k),~~~k=2,\dots ,n.}$

Они играют важную роль в теория представлений из симметричная группа.

Характеристики

Они порождают коммутативную подалгебру в ${\displaystyle \mathbb {C} [S_{n}]}$. Более того, Икс_п ездит со всеми элементами ${\displaystyle \mathbb {C} [S_{n-1}]}$.

Векторы, составляющие основу «полунормального представления» Юнга, являются собственными векторами действия Икс_п. Для любого стандартная картина Юнга U у нас есть:

${\displaystyle X_{k}v_{U}=c_{k}(U)v_{U},~~~k=1,\dots ,n,}$

куда c_k(U) это содержание б − а ячейки (а, б) занят k в стандартной таблице ЮнгаU.

Теорема (Джусис): центр ${\displaystyle Z(\mathbb {C} [S_{n}])}$ групповой алгебры ${\displaystyle \mathbb {C} [S_{n}]}$ симметрической группы порождается симметричные многочлены в элементах Икс_k.

Теорема (Jucys): Пусть т - формальная переменная, коммутирующая со всем, то следующее тождество для многочленов от переменной т со значениями в групповой алгебре ${\displaystyle \mathbb {C} [S_{n}]}$ Справедливо:

${\displaystyle (t+X_{1})(t+X_{2})\cdots (t+X_{n})=\sum _{\sigma \in S_{n}}\sigma t^{{\text{number of cycles of }}\sigma }.}$

Теорема (Окуньков –Вершик ): Подалгебра в ${\displaystyle \mathbb {C} [S_{n}]}$ генерируется центрами

${\displaystyle Z(\mathbb {C} [S_{1}]),Z(\mathbb {C} [S_{2}]),\ldots ,Z(\mathbb {C} [S_{n-1}]),Z(\mathbb {C} [S_{n}])}$

является в точности подалгеброй, порожденной элементами Джусиса – Мерфи Икс_k.

Смотрите также

• Теория представлений симметрической группы
• Юный симметризатор

Рекомендации

• Окуньков Андрей; Вершик Анатолий (2004), "Новый подход к теории представлений симметричных групп. 2", Записки семинаров ПОМИ, 307, arXiv:math.RT / 0503040(исправленная английская версия).

• Джусис, Альгимантас Адольфас (1974), "Симметричные многочлены и центр симметрического группового кольца", Rep. Mathematical Phys., 5 (1): 107–112, Bibcode:1974RpMP .... 5..107J, Дои:10.1016/0034-4877(74)90019-6

• Джусис, Альгимантас Адольфас (1966), «Об операторах Юнга симметрической группы», Летувос Физикос Ринкинис, 6: 163–180

• Джусис, Альгимантас Адольфас (1971), "Факторизация проекционных операторов Юнга для симметрической группы", Летувос Физикос Ринкинис, 11: 5–10

• Мерфи, Г. Э. (1981), "Новая конструкция полунормального представления Юнга симметрической группы", J. Алгебра, 69 (2): 287–297, Дои:10.1016/0021-8693(81)90205-2