Поток Джеффри-Хамеля - Jeffery–Hamel flow

В динамика жидкостей Поток Джеффри-Хамеля представляет собой поток, создаваемый сходящимся или расходящимся каналом с источником или стоком объема жидкости в точке пересечения двух плоских стенок. Он назван в честь Джордж Баркер Джеффри (1915)^[1] и Георг Хамель (1917),^[2] но впоследствии он был изучен многими крупными учеными, такими как фон Карман и Леви-Чивита,^[3] Уолтер Толлмин,^[4] Ф. Нётер,^[5] W.R. Dean,^[6] Rosenhead,^[7] Ландо,^[8] Г.К. Бэтчелор^[9] и др. Полный набор решений описал Эдвард Френкель в 1962 г.^[10]

Описание потока

Рассмотрим две неподвижные плоские стенки с постоянным объемным расходом ${\displaystyle Q}$ впрыскивается / всасывается в точке пересечения плоских стенок, и пусть угол между двумя стенками равен ${\displaystyle 2\alpha }$. Возьмем цилиндрическую координату ${\displaystyle (r,\theta ,z)}$ система с ${\displaystyle r=0}$ представляющий точку пересечения и ${\displaystyle \theta =0}$ осевая линия и ${\displaystyle (u,v,w)}$ - соответствующие компоненты скорости. Получающееся течение будет двумерным, если пластины бесконечно длинные в осевом направлении. ${\displaystyle z}$ направления, либо пластины длиннее, но конечны, если пренебречь краевыми эффектами, и по той же причине поток можно считать полностью радиальным, т. е. ${\displaystyle u=u(r,\theta ),v=0,w=0}$.

Тогда уравнение неразрывности и несжимаемая Уравнения Навье – Стокса сократить до

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial (ru)}{\partial r}}&=0,\\[6pt]u{\frac {\partial u}{\partial r}}&=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial r}}+\nu \left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \theta ^{2}}}-{\frac {u}{r^{2}}}\right]\\[6pt]0&=-{\frac {1}{\rho r}}{\frac {\partial p}{\partial \theta }}+{\frac {2\nu }{r^{2}}}{\frac {\partial u}{\partial \theta }}\end{aligned}}}$

Граничные условия: условие противоскольжения на обеих стенках, и третье условие вытекает из того факта, что объемный поток, вводимый / всасываемый в точке пересечения, является постоянным по поверхности при любом радиусе.

${\displaystyle u(\pm \alpha )=0,\quad Q=\int _{-\alpha }^{\alpha }ur\,d\theta }$

Формулировка

Первое уравнение говорит, что ${\displaystyle ru}$ это просто функция ${\displaystyle \theta }$, функция определяется как

${\displaystyle F(\theta )={\frac {ru}{\nu }}.}$

Разные авторы определяют функцию по-разному, например, Ландо^[8] определяет функцию с коэффициентом ${\displaystyle 6}$. Но после Whitham,^[11] Rosenhead^[12] то ${\displaystyle \theta }$ уравнение импульса становится

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial \theta }}={\frac {2\nu ^{2}}{r^{2}}}{\frac {dF}{d\theta }}}$

Теперь позволяя

${\displaystyle {\frac {p-p_{\infty }}{\rho }}={\frac {\nu ^{2}}{r^{2}}}P(\theta ),}$

то ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle \theta }$ уравнения импульса сводятся к

${\displaystyle P=-{\frac {1}{2}}(F^{2}+F'')}$

${\displaystyle P'=2F',\quad \Rightarrow \quad P=2F+C}$

и подставив это в предыдущее уравнение (чтобы исключить давление), получим

${\displaystyle F''+F^{2}+4F+2C=0}$

Умножение на ${\displaystyle F'}$ и интегрируя один раз,

${\displaystyle {\frac {1}{2}}F'^{2}+{\frac {1}{3}}F^{3}+2F^{2}+2CF=D,}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}F'^{2}+{\frac {1}{3}}(F^{3}+6F^{2}+6CF-3D)=0}$

куда ${\displaystyle C,D}$ - константы, определяемые из граничных условий. Вышеприведенное уравнение удобно переписать с тремя другими константами ${\displaystyle a,b,c}$ как корни кубического многочлена, причем только две константы являются произвольными, третья константа всегда получается из двух других, потому что сумма корней равна ${\displaystyle a+b+c=-6}$.

${\displaystyle {\frac {1}{2}}F'^{2}+{\frac {1}{3}}(F-a)(F-b)(F-c)=0,}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}F'^{2}-{\frac {1}{3}}(a-F)(F-b)(F-c)=0.}$

Граничные условия сводятся к

${\displaystyle F(\pm \alpha )=0,\quad {\frac {Q}{\nu }}=\int _{-\alpha }^{\alpha }F\,d\theta }$

куда ${\displaystyle Re=Q/\nu }$ соответствующий Число Рейнольдса. Решение может быть выражено через эллиптические функции. Для сходящегося потока ${\displaystyle Q<0}$, решение существует для всех ${\displaystyle Re}$, но для расходящегося потока ${\displaystyle Q>0}$, решение существует только для определенного диапазона ${\displaystyle Re}$.

Динамическая интерпретация^[13]

Уравнение принимает ту же форму, что и незатухающий нелинейный осциллятор (с кубическим потенциалом), можно представить, что ${\displaystyle \theta }$ является время, ${\displaystyle F}$ является смещение и ${\displaystyle F'}$ является скорость частицы с единичной массой, то уравнение представляет собой уравнение энергии (${\displaystyle K.E.+P.E.=0}$, куда ${\displaystyle K.E.={\frac {1}{2}}F'^{2}}$ и ${\displaystyle P.E.=V(F)}$ ) с нулевой полной энергией, то легко видеть, что потенциальная энергия равна

${\displaystyle V(F)=-{\frac {1}{3}}(a-F)(F-b)(F-c)}$

куда ${\displaystyle V\leq 0}$ в движении. Поскольку частица начинается в ${\displaystyle F=0}$ за ${\displaystyle \theta =-\alpha }$ и заканчивается в ${\displaystyle F=0}$ за ${\displaystyle \theta =\alpha }$, необходимо рассмотреть два случая.

• Первый случай ${\displaystyle b,c}$ являются комплексно сопряженными и ${\displaystyle a>0}$. Частица начинается в ${\displaystyle F=0}$ с конечной положительной скоростью и достигает ${\displaystyle F=a}$ где его скорость ${\displaystyle F'=0}$ и ускорение ${\displaystyle F''=-dV/dF<0}$ и возвращается в ${\displaystyle F=0}$ в конце время. Движение частицы ${\displaystyle 0<F<a}$ представляет собой чистое движение оттока, потому что ${\displaystyle F>0}$ а также симметрично относительно ${\displaystyle \theta =0}$.
• Второй случай ${\displaystyle c<b<0<a}$, все константы действительны. Движение от ${\displaystyle F=0}$ к ${\displaystyle F=a}$ к ${\displaystyle F=0}$ представляет собой чисто симметричный отток, как в предыдущем случае. И движение ${\displaystyle F=0}$ к ${\displaystyle F=b}$ к ${\displaystyle F=0}$ с ${\displaystyle F<0}$ за все время(${\displaystyle -\alpha \leq \theta \leq \alpha }$) представляет собой чисто симметричный приток. Но также частица может колебаться между ${\displaystyle b\leq F\leq a}$, представляющие как области притока, так и оттока, и потоку больше не нужно симметрично относительно ${\displaystyle \theta =0}$.

Богатую структуру этой динамической интерпретации можно найти в Rosenhead (1940).^[7]

Чистый отток

Для чистого оттока, т.к. ${\displaystyle F=a}$ в ${\displaystyle \theta =0}$, интегрирование основного уравнения дает

${\displaystyle \theta ={\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{F}^{a}{\frac {dF}{\sqrt {(a-F)(F-b)(F-c))}}}}$

и граничные условия становятся

${\displaystyle \alpha ={\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{0}^{a}{\frac {dF}{\sqrt {(a-F)(F-b)(F-c))}}},\quad Re=2{\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{0}^{\alpha }{\frac {FdF}{\sqrt {(a-F)(F-b)(F-c))}}}.}$

Уравнения можно упростить с помощью стандартных преобразований, приведенных, например, в Джеффрис.^[14]

• Первый случай ${\displaystyle b,c}$ являются комплексно сопряженными и ${\displaystyle a>0}$ приводит к

${\displaystyle F(\theta )=a-{\frac {3M^{2}}{2}}{\frac {1-\operatorname {cn} (M\theta ,\kappa )}{1+\operatorname {cn} (M\theta ,\kappa )}}}$

${\displaystyle M^{2}={\frac {2}{3}}{\sqrt {(a-b)(a-c)}},\quad \kappa ^{2}={\frac {1}{2}}+{\frac {a+2}{2M^{2}}}}$

куда ${\displaystyle \operatorname {sn} ,\operatorname {cn} }$ находятся Эллиптические функции Якоби.

• Второй случай ${\displaystyle c<b<0<a}$ приводит к

${\displaystyle F(\theta )=a-6k^{2}m^{2}\operatorname {sn} ^{2}(m\theta ,k)}$

${\displaystyle m^{2}={\frac {1}{6}}(a-c),\quad k^{2}={\frac {a-c}{a-c}}.}$

Ограничивающая форма

Предельное условие получается, если отметить, что чистый отток невозможен, когда ${\displaystyle F'(\pm \alpha )=0}$, что означает ${\displaystyle b=0}$ из основного уравнения. Таким образом, за пределами этих критических условий решения не существует. Критический угол ${\displaystyle \alpha _{c}}$ дан кем-то

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{c}&={\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{0}^{a}{\frac {dF}{\sqrt {F(a-F)(F+a+6))}}},\\&={\sqrt {\frac {3}{2a}}}\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {t(1-t)\{1+(1+6/a)t\}}}},\\&={\frac {K(k^{2})}{m^{2}}}\end{aligned}}}$

куда

${\displaystyle m^{2}={\frac {3+a}{3}},\quad k^{2}={\frac {1}{2}}\left({\frac {a}{3+a}}\right)}$

куда ${\displaystyle K(k^{2})}$ это полный эллиптический интеграл первого рода. Для больших значений ${\displaystyle a}$, критический угол становится ${\displaystyle \alpha _{c}={\sqrt {\frac {3}{a}}}K\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {3.211}{\sqrt {a}}}}$.

Соответствующие критические Число Рейнольдса или объемный поток определяется как

${\displaystyle {\begin{aligned}Re_{c}={\frac {Q_{c}}{\nu }}&=2\int _{0}^{\alpha _{c}}(a-6k^{2}m^{2}\operatorname {sn} ^{2}m\theta )\,d\theta ,\\&={\frac {12k^{2}}{\sqrt {1-2k^{2}}}}\int _{0}^{K}\operatorname {cn} ^{2}tdt,\\&={\frac {12}{\sqrt {1-2k^{2}}}}[E(k^{2})-(1-k^{2})K(k^{2})]\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle E(k^{2})}$ это полный эллиптический интеграл второго рода. Для больших значений ${\displaystyle a,\left(\ k^{2}\sim {\frac {1}{2}}-{\frac {3}{2a}}\right)}$, критическое число Рейнольдса или объемный поток принимает вид ${\displaystyle Re_{c}={\frac {Q_{c}}{\nu }}=12{\sqrt {\frac {a}{3}}}\left[E\left({\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{2}}K\left({\frac {1}{2}}\right)\right]=2.934{\sqrt {a}}}$.

Чистый приток

Для чистого притока неявное решение дается выражением

${\displaystyle \theta ={\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{b}^{F}{\frac {dF}{\sqrt {(a-F)(F-b)(F-c))}}}}$

и граничные условия становятся

${\displaystyle \alpha ={\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{b}^{0}{\frac {dF}{\sqrt {(a-F)(F-b)(F-c))}}},\quad Re=2{\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{\alpha }^{0}{\frac {FdF}{\sqrt {(a-F)(F-b)(F-c))}}}.}$

Чистый приток возможен только тогда, когда все константы действительны ${\displaystyle c<b<0<a}$ и решение дается

${\displaystyle F(\theta )=a-6k^{2}m^{2}\operatorname {sn} ^{2}(K-m\theta ,k)=b+6k^{2}m^{2}\operatorname {cn} ^{2}(K-m\theta ,k)}$

${\displaystyle m^{2}={\frac {1}{6}}(a-c),\quad k^{2}={\frac {a-c}{a-c}}}$

куда ${\displaystyle K(k^{2})}$ это полный эллиптический интеграл первого рода.

Ограничивающая форма

По мере увеличения числа Рейнольдса (${\displaystyle -b}$ становится больше), поток стремится стать однородным (приближаясь к потенциальный поток раствор), за исключением пограничных слоев у стенок. С ${\displaystyle m}$ большой и ${\displaystyle \alpha }$ дано, из решения видно, что ${\displaystyle K}$ должен быть большим, поэтому ${\displaystyle k\sim 1}$. Но когда ${\displaystyle k\approx 1}$, ${\displaystyle \operatorname {sn} t\approx \tanh t,\ c\approx b,\ a\approx -2b}$, решение становится

${\displaystyle F(\theta )=b\left\{3\tanh ^{2}\left[{\sqrt {-{\frac {b}{2}}}}(\alpha -\theta )+\tanh ^{-1}{\sqrt {\frac {2}{3}}}\right]-2\right\}.}$

Ясно, что ${\displaystyle F\approx b}$ везде кроме пограничного слоя толщины ${\displaystyle O\left({\sqrt {-{\frac {b}{2}}}}\right)}$. Объемный поток равен ${\displaystyle Q/\nu \approx 2\alpha b}$ так что ${\displaystyle |Re|=O(|b|)}$ а пограничные слои имеют классическую толщину ${\displaystyle O\left(|Re|^{1/2}\right)}$.

Рекомендации

1. Джеффри, Г. Б. "Л. Двумерное установившееся движение вязкой жидкости". Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал 29.172 (1915): 455–465.
2. Хамель, Георг. "Spiralförmige Bewegungen zäher Flüssigkeiten". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 25 (1917): 34–60.
3. фон Карман, и Леви-Чивита. "Vorträge aus dem Gebiete der Hydro-und Aerodynamik". (1922)
4. Уолтер Толлмин "Handbuch der Experimentalphysik, Vol. 4." (1931): 257.
5. Фриц Нётер "Handbuch der Physikalischen und Technischen Mechanik, Vol. 5." Лейпциг, Дж. А. Барч (1931): 733.
6. Дин, У. Р. «LXXII. Замечание о расходящемся потоке жидкости». Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал 18.121 (1934): 759–777.
7. Луи Розенхед «Устойчивый двумерный радиальный поток вязкой жидкости между двумя наклонными плоскими стенками». Труды Лондонского королевского общества A: математические, физические и технические науки. Vol. 175. № 963. Королевское общество, 1940.
8. Лев Ландау, и Э. М. Лифшиц. «Гидромеханика Пергамона». Нью-Йорк 61 (1959).
9. Г.К. Бэтчелор. Введение в гидродинамику. Издательство Кембриджского университета, 2000.
10. Френкель, Л. Э. (1962). Ламинарное течение в симметричных каналах со слегка искривленными стенками, I. О решениях Джеффри-Хамеля для потока между плоскими стенками. Труды Лондонского королевского общества. Серия А. Математические и физические науки, 267 (1328), 119-138.
11. Уизем, Дж. Б. «Глава III в ламинарных пограничных слоях». (1963): 122.
12. Розенхед, Луи, изд. Ламинарные пограничные слои. Кларендон Пресс, 1963 год.
13. Дразин, Филип Г., и Норман Райли. Уравнения Навье – Стокса: классификация потоков и точные решения. № 334. Издательство Кембриджского университета, 2006.
14. Джеффрис, Гарольд, Берта Свирлс и Филип М. Морс. «Методы математической физики». (1956): 32–34.