Теорема Ионеску-Тулча - Ionescu-Tulcea theorem

Не путать с: Эргодическая теорема Ионеску-Тулча-Маринеску.

В математической теория вероятности, то Теорема Ионеску-Тулча, иногда называемый Теорема Ионеско Тулча о продолжении имеет дело с существованием вероятностные меры для вероятностных событий, состоящих из счетного бесконечного числа отдельных вероятностных событий. В частности, отдельные события могут быть независимый или зависимы друг от друга. Таким образом, утверждение выходит за рамки простого существования счетных меры продукта. Теорема была доказана Кассий Ионеску-Тулча в 1949 г.^[1][2]

Формулировка теоремы

Предположим, что ${\displaystyle (\Omega _{0},{\mathcal {A}}_{0},P_{0})}$ это вероятностное пространство и ${\displaystyle (\Omega _{i},{\mathcal {A}}_{i})}$ за ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ это последовательность измерять пространства. Для каждого ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ позволять

${\displaystyle \kappa _{i}\colon (\Omega ^{i-1},{\mathcal {A}}^{i-1})\to (\Omega _{i},{\mathcal {A}}_{i})}$

быть Марковское ядро происходит от ${\displaystyle (\Omega ^{i-1},{\mathcal {A}}^{i-1})}$ и ${\displaystyle (\Omega _{i},{\mathcal {A}}_{i}),}$, куда

${\displaystyle \Omega ^{i}:=\prod _{k=0}^{i}\Omega _{k}{\text{ and }}{\mathcal {A}}^{i}:=\bigotimes _{k=0}^{i}{\mathcal {A}}_{k}.}$

Тогда существует последовательность вероятностных мер

${\displaystyle P_{i}:=P_{0}\otimes \bigotimes _{k=1}^{i}\kappa _{k}}$ определено в пространстве продукта для последовательности ${\displaystyle (\Omega ^{i},{\mathcal {A}}^{i})}$, ${\displaystyle i\in \mathbb {N} ,}$

и существует однозначно определенная вероятностная мера ${\displaystyle P}$ на ${\displaystyle \left(\prod _{k=0}^{\infty }\Omega _{k},\bigotimes _{k=0}^{\infty }{\mathcal {A}}_{k}\right)}$, так что

${\displaystyle P_{i}(A)=P\left(A\times \prod _{k=i+1}^{\infty }\Omega _{k}\right)}$

удовлетворяется для каждого ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}^{i}}$ и ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$. (Мера ${\displaystyle P}$ имеет условные вероятности равно стохастическим ядрам.)^[3]

Приложения

Конструкция, использованная при доказательстве теоремы Ионеску-Тулча, часто используется в теории Марковские процессы принятия решений, и, в частности, теория Цепи Маркова.^[3]

Источники

• Кленке, Ахим (2013). Wahrscheinlichkeitstheorie (3-е изд.). Берлин Гейдельберг: Springer-Verlag. С. 292–294. Дои:10.1007/978-3-642-36018-3. ISBN  978-3-642-36017-6.
• Кусолич, Норберт (2014). Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie: Eine Einführung (2-е изд.). Берлин; Гейдельберг: Springer-Verlag. С. 169–171. Дои:10.1007/978-3-642-45387-8. ISBN  978-3-642-45386-1.

Рекомендации

1. Ионеску Тулча, К. Т. (1949). "Mesures dans les espaces produits". Atti Accad. Наз. Линче Ренд. 7: 208–211.
2. Шализи, Косма. «Глава 3. Построение бесконечных процессов из регулярных условных распределений вероятностей» (PDF). Косма Шализи, Статистический отдел CMU, Университет Карнеги-Меллона. Указатель / ~ cshalizi / 754 / notes "Практически ничего из теории случайных процессов: курс случайных процессов для студентов, изучающих теории вероятностей из меры, с точки зрения приложений в динамике и статистике Космы Рохилла Шализи с Арье Конторович ». stat.cmu.edu/~cshalizi.
3. Абате, Алессандро; Редиг, Фрэнк; Ткачев, Илья (2014). «О влиянии возмущения условных вероятностей на полную вариацию». Письма о статистике и вероятности. 88: 1–8. arXiv:1311.3066. Дои:10.1016 / j.spl.2014.01.009. препринт arXiv