Бесконечномерная оптимизация - Infinite-dimensional optimization

В определенных оптимизация задачи неизвестное оптимальное решение может быть не числом или вектором, а скорее непрерывной величиной, например функция или форма тела. Такая проблема бесконечномерная оптимизация проблема, потому что непрерывная величина не может быть определена конечный количество определенных степени свободы.

Примеры

• Найди кратчайший путь между двумя точками на плоскости. Переменными в этой задаче являются кривые, соединяющие две точки. Оптимальным решением, конечно же, является отрезок прямой, соединяющий точки, если метрика, заданная на плоскости, является евклидовой метрикой.
• Для двух городов в стране с множеством холмов и долин найдите кратчайшую дорогу, ведущую из одного города в другой. Эта проблема является обобщением вышеизложенного, и ее решение не так очевидно.
• Имея два круга, которые будут служить верхом и низом для чашки заданной высоты, найдите форму боковой стенки чашки так, чтобы боковая стенка имела минимальная площадь. Интуиция подсказывает, что чашка должна иметь коническую или цилиндрическую форму, что неверно. Фактическая минимальная поверхность - это катеноид.
• Найдите форму моста, способного выдержать заданное количество движения с использованием наименьшего количества материала.
• Найдите форму самолета, который отражает большую часть радиоволн от радара противника.

Бесконечномерные задачи оптимизации могут быть более сложными, чем конечномерные. Обычно нужно использовать методы из уравнения в частных производных для решения таких проблем.

Несколько дисциплин, изучающих бесконечномерные задачи оптимизации: вариационное исчисление, оптимальный контроль и оптимизация формы.

Смотрите также

• Полубесконечное программирование

Рекомендации

• Дэвид Люенбергер (1997). Оптимизация методами векторного пространства. Джон Вили и сыновья. ISBN  0-471-18117-X.
• Эдвард Дж. Андерсон и Питер Нэш, Линейное программирование в бесконечномерных пространствах, Wiley, 1987.
• М. А. Гоберна и М. А. Лопес, Линейная полубесконечная оптимизация, Wiley, 1998.
• Кассель, Кевин В.: Вариационные методы с приложениями в науке и технике, Cambridge University Press, 2013.