Функция рожка - Horn function

В теории специальные функции в математика, то Функции звукового сигнала (назван в честь Якоб Хорн ) являются 34 различными сходящимися гипергеометрический ряд второго порядка (т.е. имеющие две независимые переменные), пронумерованные Рог (1931) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFHorn1931 (помощь) (исправлено Борнгэссер (1933) ). Они перечислены в (Эрдейи 1953, раздел 5.7.1) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFErdélyi1953 (помощь). Б. К. Карлсон^[1] выявил проблему со схемой классификации функций Хорна.^[2]Всего 34 функции Хорна можно разделить на 14 полных гипергеометрических функций и 20 конфлюэнтных гипергеометрических функций. Полные функции с их областью сходимости:

• ${\displaystyle F_{1}(\alpha ;\beta ,\beta ';\gamma ;z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m+n}(\beta )_{m}(\beta ')_{n}}{(\gamma )_{m+n}}}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;|z|<1\land |w|<1}$
• ${\displaystyle F_{2}(\alpha ;\beta ,\beta ';\gamma ,\gamma ';z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m+n}(\beta )_{m}(\beta ')_{n}}{(\gamma )_{m}(\gamma ')_{n}}}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;|z|+|w|<1}$
• ${\displaystyle F_{3}(\alpha ,\alpha ';\beta ,\beta ';\gamma ;z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m}(\alpha ')_{n}(\beta )_{m}(\beta ')_{n}}{(\gamma )_{m+n}}}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;|z|<1\land |w|<1}$
• ${\displaystyle F_{4}(\alpha ;\beta ;\gamma ,\gamma ';z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m+n}(\beta )_{m+n}}{(\gamma )_{m}(\gamma ')_{n}}}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;{\sqrt {|z|}}+{\sqrt {|w|}}<1}$
• ${\displaystyle G_{1}(\alpha ;\beta ,\beta ';z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }(\alpha )_{m+n}(\beta )_{n-m}(\beta ')_{m-n}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;|z|+|w|<1}$
• ${\displaystyle G_{2}(\alpha ,\alpha ';\beta ,\beta ';z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }(\alpha )_{m}(\alpha ')_{n}(\beta )_{n-m}(\beta ')_{m-n}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;|z|<1\land |w|<1}$
• ${\displaystyle G_{3}(\alpha ,\alpha ';z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }(\alpha )_{2n-m}(\alpha ')_{2m-n}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;27|z|^{2}|w|^{2}+18|z||w|\pm 4(|z|-|w|)<1}$
• ${\displaystyle H_{1}(\alpha ;\beta ;\gamma ;\delta ;z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m-n}(\beta )_{m+n}(\gamma )_{n}}{(\delta )_{m}}}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;4|z||w|+2|w|-|w|^{2}<1}$
• ${\displaystyle H_{2}(\alpha ;\beta ;\gamma ;\delta ;\epsilon ;z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m-n}(\beta )_{m}(\gamma )_{n}(\delta )_{n}}{(\delta )_{m}}}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;1/|w|-|z|<1}$
• ${\displaystyle H_{3}(\alpha ;\beta ;\gamma ;z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{2m+n}(\beta )_{n}}{(\gamma )_{m+n}}}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;|z|+|w|^{2}-|w|<0}$
• ${\displaystyle H_{4}(\alpha ;\beta ;\gamma ;\delta ;z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{2m+n}(\beta )_{n}}{(\gamma )_{m}(\delta )_{n}}}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;4|z|+2|w|-|w|^{2}<1}$
• ${\displaystyle H_{5}(\alpha ;\beta ;\gamma ;z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{2m+n}(\beta )_{n-m}}{(\gamma )_{n}}}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;16|z|^{2}-36|z||w|\pm (8|z|-|w|+27|z||w|^{2})<-1}$
• ${\displaystyle H_{6}(\alpha ;\beta ;\gamma ;z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }(\alpha )_{2m-n}(\beta )_{n-m}(\gamma )_{n}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;|z||w|^{2}+|w|<1}$
• ${\displaystyle H_{7}(\alpha ;\beta ;\gamma ;\delta ;z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{2m-n}(\beta )_{n}(\gamma )_{n}}{(\delta )_{m}}}{\frac {z^{m}w^{n}}{m!n!}}/;4|z|+2/|s|-1/|s|^{2}<1}$

в то время как конфлюэнтные функции включают:

• ${\displaystyle \Phi _{1}\left(\alpha ;\beta ;\gamma ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m+n}(\beta )_{m}}{(\gamma )_{m+n}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}$
• ${\displaystyle \Phi _{2}\left(\beta ,\beta ';\gamma ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\beta )_{m}(\beta ')_{n}}{(\gamma )_{m+n}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}$
• ${\displaystyle \Phi _{3}\left(\beta ;\gamma ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\beta )_{m}}{(\gamma )_{m+n}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}$
• ${\displaystyle \Psi _{1}\left(\alpha ;\beta ;\gamma ,\gamma ';x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m+n}(\beta )_{m}}{(\gamma )_{m}(\gamma ')_{n}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}$
• ${\displaystyle \Psi _{2}\left(\alpha ;\gamma ,\gamma ';x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m+n}}{(\gamma )_{m}(\gamma ')_{n}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}$
• ${\displaystyle \Xi _{1}\left(\alpha ,\alpha ';\beta ;\gamma ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m}(\alpha ')_{n}(\beta )_{m}}{(\gamma )_{m+n}(\gamma ')_{n}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}$
• ${\displaystyle \Xi _{2}\left(\alpha ;\beta ;\gamma ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m}(\alpha )_{m}}{(\gamma )_{m+n}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}$
• ${\displaystyle \Gamma _{1}\left(\alpha ;\beta ,\beta ';x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }(\alpha )_{m}(\beta )_{n-m}(\beta ')_{m-n}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}$
• ${\displaystyle \Gamma _{2}\left(\beta ,\beta ';x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }(\beta )_{n-m}(\beta ')_{m-n}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}$
• ${\displaystyle H_{1}\left(\alpha ;\beta ;\delta ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m-n}(\beta )_{m+n}}{(\delta )_{m}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}$
• ${\displaystyle H_{2}\left(\alpha ;\beta ;\gamma ;\delta ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m-n}(\beta )_{m}(\gamma )_{n}}{(\delta )_{m}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}$
• ${\displaystyle H_{3}\left(\alpha ;\beta ;\delta ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m-n}(\beta )_{m}}{((\delta )_{m}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}$
• ${\displaystyle H_{4}\left(\alpha ;\gamma ;\delta ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m-n}(\gamma )_{n}}{(\delta )_{n}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}$
• ${\displaystyle H_{5}\left(\alpha ;\delta ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m-n}}{(\delta )_{m}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}$
• ${\displaystyle H_{6}\left(\alpha ;\gamma ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{2m+n}}{(\gamma )_{m+n}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}$
• ${\displaystyle H_{7}\left(\alpha ;\gamma ;\delta ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{2m+n}}{(\gamma )_{m}(\delta )_{n}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}$
• ${\displaystyle H_{8}\left(\alpha ;\beta ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }(\alpha )_{2m-n}(\beta )_{n-m}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}$
• ${\displaystyle H_{9}\left(\alpha ;\beta ;\delta ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{2m-n}(\beta )_{n}}{(\delta )_{m}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}$
• ${\displaystyle H_{10}\left(\alpha ;\delta ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{2m-n}}{(\delta )_{m}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}$
• ${\displaystyle H_{11}\left(\alpha ;\beta ;\gamma ;\delta ;x,y\right)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m-n}(\beta )_{n}(\gamma )_{n}}{(\delta )_{m}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}}$

Обратите внимание, что некоторые из полных и сливных функций имеют одинаковую нотацию.

Рекомендации

1. "Профиль: Билле К. Карлсон" в Электронная библиотека математических функций. Национальный институт стандартов и технологий.
2. Карлсон, Б. С. (1976). «Необходимость новой классификации двойных гипергеометрических рядов». Proc. Амер. Математика. Soc. 56: 221–224. Дои:10.1090 / с0002-9939-1976-0402138-8. МИСТЕР  0402138.

• Борнгэссер, Людвиг (1933), Über hypergeometrische funkionen zweier Veränderlichen, Диссертация, Дармштадт
• Эрдели, Артур; Магнус, Вильгельм; Оберхеттингер, Фриц; Трикоми, Франческо Г. (1953), Высшие трансцендентные функции. Том I (PDF), McGraw-Hill Book Company, Inc., Нью-Йорк-Торонто-Лондон, МИСТЕР  0058756
• Хорн, Дж. (1935), "Hypergeometrische Funktionen zweier Veränderlichen", Mathematische Annalen, 105 (1): 381–407, Дои:10.1007 / BF01455825
• Дж. Хорн Математика. Анна. 111, 637 (1933)
• Srivastava, H.M .; Карлссон, Пер В. (1985), Кратные гипергеометрические ряды Гаусса, Серия Эллиса Хорвуда: Математика и ее приложения, Чичестер: Ellis Horwood Ltd., ISBN  978-0-85312-602-7, МИСТЕР  0834385