Теорема единственности Хольмгренса - Holmgrens uniqueness theorem

В теории уравнения в частных производных, Теорема единственности Холмгрена, или просто Теорема Холмгрена, названный в честь шведского математика Эрик Альберт Холмгрен (1873–1943), является результатом единственности для линейных уравнения в частных производных с настоящий аналитик коэффициенты.^[1]

Простая форма теоремы Хольмгрена

Мы будем использовать многоиндексная запись:Позволять ${\displaystyle \alpha =\{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}\}\in \mathbb {N} _{0}^{n},}$,с ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ обозначающие неотрицательные целые числа; обозначим ${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}}$ и

${\displaystyle \partial _{x}^{\alpha }=\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\right)^{\alpha _{1}}\cdots \left({\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)^{\alpha _{n}}}$.

Теорема Холмгрена в более простой форме может быть сформулирована следующим образом:

Предположить, что п = ∑_|α| ≤м А_α(х) ∂^α
_Икс является эллиптический оператор в частных производных с аналитический коэффициенты. Если Пу является вещественно-аналитическим в связной открытой окрестности Ω ⊂ р^п, тогда ты также является вещественно-аналитическим.

Это утверждение, в котором «аналитический» заменен на «гладкий», является Герман Вейль классическая лемма о эллиптическая регулярность:^[2]

Если п является эллиптическим дифференциальным оператором и Пу гладко в Ω, тогда ты также гладкий в Ω.

Это утверждение можно доказать, используя Соболевские пространства.

Классическая форма

Позволять ${\displaystyle \Omega }$ быть связной открытой окрестностью в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, и разреши ${\displaystyle \Sigma }$ аналитическая гиперповерхность в ${\displaystyle \Omega }$, таких, что есть два открытых подмножества ${\displaystyle \Omega _{+}}$ и ${\displaystyle \Omega _{-}}$ в ${\displaystyle \Omega }$, непустые и связанные, не пересекающиеся ${\displaystyle \Sigma }$ ни друг друга, так что ${\displaystyle \Omega =\Omega _{-}\cup \Sigma \cup \Omega _{+}}$.

Позволять ${\displaystyle P=\sum _{|\alpha |\leq m}A_{\alpha }(x)\partial _{x}^{\alpha }}$ - дифференциальный оператор с вещественно-аналитическими коэффициентами.

Предположим, что гиперповерхность ${\displaystyle \Sigma }$ нехарактерна по отношению к ${\displaystyle P}$ в каждой точке:

${\displaystyle \mathop {\rm {Char}} P\cap N^{*}\Sigma =\emptyset }$.

Над,

${\displaystyle \mathop {\rm {Char}} P=\{(x,\xi )\subset T^{*}\mathbb {R} ^{n}\backslash 0:\sigma _{p}(P)(x,\xi )=0\},{\text{ with }}\sigma _{p}(x,\xi )=\sum _{|\alpha |=m}i^{|\alpha |}A_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }}$

то главный символ из ${\displaystyle P}$.${\displaystyle N^{*}\Sigma }$ это конормальный пучок к ${\displaystyle \Sigma }$, определяется как${\displaystyle N^{*}\Sigma =\{(x,\xi )\in T^{*}\mathbb {R} ^{n}:x\in \Sigma ,\,\xi |_{T_{x}\Sigma }=0\}}$.

Классическая формулировка теоремы Хольмгрена выглядит следующим образом:

Теорема Холмгрена

Позволять ${\displaystyle u}$ быть распределением в ${\displaystyle \Omega }$ такой, что ${\displaystyle Pu=0}$ в ${\displaystyle \Omega }$. Если ${\displaystyle u}$ исчезает в ${\displaystyle \Omega _{-}}$, то он исчезает в открытой окрестности ${\displaystyle \Sigma }$.^[3]

Связь с теоремой Коши – Ковалевского

Рассмотрим проблему

${\displaystyle \partial _{t}^{m}u=F(t,x,\partial _{x}^{\alpha }\,\partial _{t}^{k}u),\quad \alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n},\quad k\in \mathbb {N} _{0},\quad |\alpha |+k\leq m,\quad k\leq m-1,}$

с данными Коши

${\displaystyle \partial _{t}^{k}u|_{t=0}=\phi _{k}(x),\qquad 0\leq k\leq m-1,}$

Предположить, что ${\displaystyle F(t,x,z)}$ является вещественно-аналитическим по всем своим аргументам в окрестности ${\displaystyle t=0,x=0,z=0}$и это ${\displaystyle \phi _{k}(x)}$ вещественно-аналитичны в окрестности ${\displaystyle x=0}$.

Теорема (Коши – Ковалевски)

Есть уникальное реально-аналитическое решение ${\displaystyle u(t,x)}$ в районе ${\displaystyle (t,x)=(0,0)\in (\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n})}$.

Заметим, что теорема Коши – Ковалевского не исключает существования решений, которые не являются вещественно-аналитическими.

С другой стороны, в случае, когда ${\displaystyle F(t,x,z)}$ является полиномом первого порядка от ${\displaystyle z}$, так что

${\displaystyle \partial _{t}^{m}u=F(t,x,\partial _{x}^{\alpha }\,\partial _{t}^{k}u)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n},0\leq k\leq m-1,|\alpha |+k\leq m}A_{\alpha ,k}(t,x)\,\partial _{x}^{\alpha }\,\partial _{t}^{k}u,}$

Теорема Холмгрена утверждает, что решение ${\displaystyle u}$ вещественно аналитична и, следовательно, по теореме Коши – Ковалевски единственна.

Смотрите также

• Теорема Коши – Ковалевского
• Преобразование ФБР

Рекомендации

1. Эрик Хольмгрен, "Убер-система линейных партиелленов Differentialgleichungen", Öfversigt af Kongl. Vetenskaps-Academien Förhandlinger, 58 (1901), 91–103.
2. Строок, В. (2008). «Лемма Вейля, одна из многих». Группы и анализ. Лондонская математика. Soc. Лекция Сер. 354. Кембридж: Cambridge Univ. Нажмите. С. 164–173. МИСТЕР  2528466.
3. Франсуа Тревес, "Введение в псевдодифференциальные и интегральные операторы Фурье", т. 1, Plenum Press, Нью-Йорк, 1980.