Теорема единственности Хольмгренса - Holmgrens uniqueness theorem

В теории уравнения в частных производных, Теорема единственности Холмгрена, или просто Теорема Холмгрена, названный в честь шведского математика Эрик Альберт Холмгрен (1873–1943), является результатом единственности для линейных уравнения в частных производных с настоящий аналитик коэффициенты.[1]

Простая форма теоремы Хольмгрена

Мы будем использовать многоиндексная запись:Позволять обозначающие неотрицательные целые числа; обозначим и

.

Теорема Холмгрена в более простой форме может быть сформулирована следующим образом:

Предположить, что п = ∑|α| ≤м Аα(х) ∂α
Икс
является эллиптический оператор в частных производных с аналитический коэффициенты. Если Пу является вещественно-аналитическим в связной открытой окрестности Ω ⊂ рп, тогда ты также является вещественно-аналитическим.

Это утверждение, в котором «аналитический» заменен на «гладкий», является Герман Вейль классическая лемма о эллиптическая регулярность:[2]

Если п является эллиптическим дифференциальным оператором и Пу гладко в Ω, тогда ты также гладкий в Ω.

Это утверждение можно доказать, используя Соболевские пространства.

Классическая форма

Позволять быть связной открытой окрестностью в , и разреши аналитическая гиперповерхность в , таких, что есть два открытых подмножества и в , непустые и связанные, не пересекающиеся ни друг друга, так что .

Позволять - дифференциальный оператор с вещественно-аналитическими коэффициентами.

Предположим, что гиперповерхность нехарактерна по отношению к в каждой точке:

.

Над,

то главный символ из . это конормальный пучок к , определяется как.

Классическая формулировка теоремы Хольмгрена выглядит следующим образом:

Теорема Холмгрена
Позволять быть распределением в такой, что в . Если исчезает в , то он исчезает в открытой окрестности .[3]

Связь с теоремой Коши – Ковалевского

Рассмотрим проблему

с данными Коши

Предположить, что является вещественно-аналитическим по всем своим аргументам в окрестности и это вещественно-аналитичны в окрестности .

Теорема (Коши – Ковалевски)
Есть уникальное реально-аналитическое решение в районе .

Заметим, что теорема Коши – Ковалевского не исключает существования решений, которые не являются вещественно-аналитическими.

С другой стороны, в случае, когда является полиномом первого порядка от , так что

Теорема Холмгрена утверждает, что решение вещественно аналитична и, следовательно, по теореме Коши – Ковалевски единственна.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Эрик Хольмгрен, "Убер-система линейных партиелленов Differentialgleichungen", Öfversigt af Kongl. Vetenskaps-Academien Förhandlinger, 58 (1901), 91–103.
  2. ^ Строок, В. (2008). «Лемма Вейля, одна из многих». Группы и анализ. Лондонская математика. Soc. Лекция Сер. 354. Кембридж: Cambridge Univ. Нажмите. С. 164–173. МИСТЕР  2528466.
  3. ^ Франсуа Тревес, "Введение в псевдодифференциальные и интегральные операторы Фурье", т. 1, Plenum Press, Нью-Йорк, 1980.