Арифметика концов Гильберта - Hilberts arithmetic of ends

В математика, особенно в области гиперболическая геометрия, Арифметика концов Гильберта представляет собой метод наделения геометрического набора, набора идеальных точек или "концов" гиперболической плоскости с алгебраической структурой как поле Его ввел немецкий математик. Дэвид Гильберт.^[1]

Определения

Заканчивается

В гиперболическая плоскость, можно определить идеальная точка или же конец быть класс эквивалентности из предельная параллель лучи. Затем набор концов может быть топологизирован естественным образом и образует круг. Это использование конец не каноничен; в частности, концепция, которую он указывает, отличается от концепции топологической цели (см. Конец (топология) и Конец (теория графов) ).

в Модель диска Пуанкаре или же Модель Кляйна гиперболической геометрии каждый луч пересекает границу круг (также называемый круг в бесконечности или же линия на бесконечности ) в уникальном точка, и концы могут быть отождествлены с этими точками. Однако точки граничной окружности не считаются точками самой гиперболической плоскости. Каждый гиперболический линия имеет ровно два различных конца, и каждые два разных конца являются концами одной единственной линии. Для целей арифметики Гильберта прямую целесообразно обозначать упорядоченной парой (а, б) его концов.

Арифметика Гильберта фиксирует произвольно три различных конца и помечает их как 0, 1 и ∞;. Набор ЧАС на котором Гильберт определяет структуру поля - это множество всех концов, кроме ∞, а ЧАС' обозначает множество всех концов, включая ∞.

Добавление

Композиция из трех отражений с одним концом представляет собой четвертое отражение, также с одним концом.

Гильберт определяет сложение концов с помощью гиперболических размышления. Для каждого конца Икс в ЧАС, его отрицание -Икс определяется построением гиперболического отражения прямой (Икс, ∞) через линию (0, ∞) и выбирая -Икс быть концом отраженной линии.

В сочинение любых трех гиперболических размышления чей оси симметрии все имеют общий конец, это само по себе другое отражение на другой линии с тем же концом. На основе этой «теоремы о трех отражениях» при любых двух концах Икс и у в ЧАС, Гильберт определяет сумму Икс + у быть небесконечным концом оси симметрии композиции трех отражений через линии (Икс, ∞), (0, ∞) и (у,∞).

Из свойств отражений следует, что эти операции обладают свойствами, требуемыми от операций отрицания и сложения в алгебре полей: они образуют операции обратного и сложения аддитивного абелева группа.

Умножение

Умножение на концах

В арифметике концов определена операция умножения (для ненулевых элементов Икс и у из ЧАС), рассматривая прямые (1, −1), (Икс,−Икс), и (у,−у). Из-за пути −1, -Икс, и -у определяются отражением поперек прямой (0, ∞) каждой из трех прямых (1, −1), (Икс,−Икс), и (у,−у) перпендикулярно (0, ∞).

Из этих трех линий может быть определена четвертая линия, ось симметрии композиции отражений через (Икс,−Икс), (1, −1) и (у,−у). Эта прямая также перпендикулярна (0, ∞) и поэтому принимает вид (z,−z) с какой-то целью z. В качестве альтернативы, пересечение этой прямой с линией (0, ∞) можно найти, добавив длины отрезков прямой от пересечения с (1, -1) к пересечениям двух других точек. Ровно для одного из двух возможных вариантов z, четное число четырех элементов 1, Икс, у, и z лежат на одной стороне прямой (0, ∞) друг с другом. Сумма Икс + у определяется как выборz.

Поскольку это может быть определено путем сложения длин линейных сегментов, эта операция удовлетворяет требованию операции умножения над полем, что она формирует абелеву группу над ненулевыми элементами поля с единичной единицей. Обратная операция группы - отражение конца линии (1, −1). Можно также показать, что эта операция умножения подчиняется распределительное свойство вместе с операцией сложения поля.

Жесткие движения

Позволять ${\displaystyle \scriptstyle \Pi }$ - гиперболическая плоскость и ЧАС его поле концов, как указано выше. В плоскости ${\displaystyle \scriptstyle \Pi }$, у нас есть жесткие движения и их влияние на концы следующим образом:

• Отражение в ${\displaystyle \scriptstyle (0,\,\infty )}$ отправляет ${\displaystyle \scriptstyle x\,\in \,H'}$ к -Икс.

${\displaystyle x'=-x.\,}$

• Отражение в (1, −1) дает

${\displaystyle x'={1 \over x}.\,}$

• Перевод вдоль ${\displaystyle \scriptstyle (0,\,\infty )}$ что посылает 1 любому ${\displaystyle \scriptstyle a\,\in \,H}$, а > 0 представлен

${\displaystyle x'=ax.\,}$

• Для любого ${\displaystyle \scriptstyle a\,\in \,H}$существует жесткое движение σ_(1/2)а σ₀, композиция отражения в строке ${\displaystyle \scriptstyle (0,\infty )}$ и отражение в строке ${\displaystyle \scriptstyle ((1/2)a,\,\infty )}$, который называется вращение вокруг ${\displaystyle \scriptstyle \infty }$ дан кем-то

${\displaystyle x'=x+a.\,}$

• В вращение вокруг точки О, который отправляет 0 на любой заданный конец ${\displaystyle \scriptstyle a\,\in \,H}$, эффекты как

${\displaystyle x'={\frac {x+a}{1-ax}}}$

на концах. Вращение вокруг О отправка 0 в ${\displaystyle \scriptstyle \infty }$ дает

${\displaystyle x'=-{1 \over x}.}$

Для более подробного рассмотрения, чем может дать эта статья, посоветуйтесь.^[2]

Рекомендации

1. Гильберт, «Новое развитие геометрии Бояи-Лобаевского» как Приложение III в «Основы геометрии», 1971.
2. Робин Хартшорн, «Геометрия: Евклид и не только», Springer-Verlag, 2000, раздел 41