Проблема отшельников - Hermites problem

Проблема Эрмита это открытая проблема в математика поставленный Чарльз Эрмит в 1848 г. Он попросил способ выразить действительные числа в качестве последовательности из натуральные числа, так что последовательность в конечном итоге является периодической именно тогда, когда исходное число является кубическим иррациональный.

Мотивация

Стандартный способ записи действительных чисел - их десятичное представление, Такие как:

${\displaystyle x=a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\ldots \ }$

куда а₀ является целое число, то целая часть из Икс, и а₁, а₂, а₃,… - целые числа от 0 до 9. При таком представлении число Икс равно

${\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{10^{n}}}.}$

Настоящее число Икс это Рациональное число только если его десятичное представление в конечном итоге периодическое, то есть если есть натуральные числа N и п так что для каждого п ≥ N это тот случай, когда а_п+п = а_п.

Еще один способ выразить числа - записать их как непрерывные дроби, как в:

${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ],\ }$

куда а₀ целое число и а₁, а₂, а₃… Натуральные числа. Из этого представления мы можем восстановить Икс поскольку

${\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\ddots }}}}}}.}$

Если Икс - рациональное число, то последовательность (а_п) завершается после конечного числа членов. С другой стороны, Эйлер доказал, что иррациональные числа требуют бесконечной последовательности для выражения их в виде цепных дробей.^[1] Более того, эта последовательность в конечном итоге является периодической (опять же, так что есть натуральные числа N и п так что для каждого п ≥ N у нас есть а_п+п = а_п), если и только если Икс это квадратичный иррациональный.

Вопрос Эрмита

Рациональные числа алгебраические числа которые удовлетворяют многочлен степени 1, а квадратичные иррациональные числа - это алгебраические числа, удовлетворяющие многочлену степени 2. Для обоих наборы чисел у нас есть способ построить последовательность натуральных чисел (а_п) с тем свойством, что каждая последовательность дает уникальное действительное число и что это действительное число принадлежит соответствующему набору тогда и только тогда, когда последовательность в конечном итоге является периодической.

В 1848 году Чарльз Эрмит написал письмо Карл Густав Джейкоб Якоби спрашивая, можно ли обобщить эту ситуацию, то есть можно ли присвоить последовательность натуральных чисел каждому действительному числу Икс такая, что последовательность в конечном итоге является периодической именно тогда, когда Икс кубика иррациональна, то есть алгебраическое число степени 3?^[2][3] Или, в более общем смысле, для каждого натурального числа d есть ли способ присвоить последовательность натуральных чисел каждому действительному числу Икс что может выбрать когда Икс алгебраичен степени d?

Подходы

Последовательности, которые пытаются решить проблему Эрмита, часто называют многомерные цепные дроби. Сам Якоби придумал ранний пример, найдя последовательность, соответствующую каждой паре действительных чисел (Икс, у), который действовал как многомерный аналог цепных дробей.^[4] Он надеялся показать, что последовательность, прикрепленная к (Икс, у) была периодической тогда и только тогда, когда оба Икс и у принадлежал к поле кубических чисел, но не смог этого сделать, и так ли это, остается нерешенным.

В 2015 году впервые было обеспечено периодическое представление любого кубического иррационального числа с помощью троичных цепных дробей, т.е. была решена задача записи кубических иррациональных чисел в виде периодической последовательности рациональных или целых чисел. Однако периодическое представление не выводится из алгоритма, определенного для всех действительных чисел, и выводится только исходя из знания минимальный многочлен кубической иррациональной.^[5]

Вместо обобщения непрерывных дробей существует другой подход к проблеме: обобщение Функция вопросительного знака Минковского. Эта функция? : [0, 1] → [0, 1] также выбирает квадратичные иррациональные числа, поскольку? (Икс) рационально тогда и только тогда, когда Икс является либо рациональным, либо квадратичным иррациональным числом, и более того Икс рационально тогда и только тогда, когда? (Икс) это диадический рациональный, таким образом Икс квадратично иррационально именно тогда, когда? (Икс) - недиадическое рациональное число. Различные обобщения этой функции либо на единичный квадрат [0, 1] × [0, 1] или двумерный симплекс были сделаны, хотя ни одна из них еще не решила проблему Эрмита.^[6][7]

Рекомендации

1. «E101 - Introductio in analysin infinitorum, Том 1». Получено 2008-03-16.
2. Эмиль Пикар, L'œuvre scientifique de Charles Hermite, Анна. Sci. École Norm. Как дела. 3 18 (1901), стр.9–34.
3. Extraits de lettres de M. Ch. Hermite à M. Jacobi по различным объектам теории имен. (Продолжение)., Journal für die reine und angewandte Mathematik 40 (1850), стр.279–315, Дои:10.1515 / crll.1850.40.279
4. К. Г. Дж. Якоби, Allgemeine Theorie der kettenbruchänlichen Algorithmen, in welche jede Zahl aus дрей vorhergehenden gebildet wird (Английский: Общая теория алгоритмов типа цепной дроби, в которой каждое число образуется из трех предыдущих), Journal für die reine und angewandte Mathematik 69 (1868), стр.29–64.
5. Надир Мурру, О периодической записи кубических иррациональных чисел и обобщении функций Редеи, Int. J. Теория чисел 11 (2015), нет. 3, стр. 779-799, DOI: 10.1142 / S1793042115500438
6. Л. Коллрос, Алгоритм для одновременного приближения Deux Granduers, Вступительная диссертация, Университет Цюриха, 1905.
7. Ольга Р. Бивер, Томас Гаррити, Двумерная функция Минковского? (X), Дж. Теория чисел 107 (2004), нет. 1. С. 105–134.