Наследственный набор - Hereditary set

В теория множеств, а наследственный набор (или же чистый набор) это набор все элементы которого являются наследственными множествами. То есть все элементы набора сами по себе являются наборами, как и все элементы элементов и так далее.

Примеры

Например, это пусто правда что пустое множество является наследственным, и, следовательно, множество ${\displaystyle \{\varnothing \}}$ содержащий только пустой набор ${\displaystyle \varnothing }$ наследственное множество. Аналогично множество ${\displaystyle \{\varnothing ,\{\varnothing \}\}}$ который содержит два элемента: пустой набор и набор, содержащий только пустой набор, является наследственным набором.

В формулировках теории множеств

В формулировках теории множеств, которые предназначены для интерпретации в Вселенная фон Неймана или выразить содержание Теория множеств Цермело – Френкеля, все Наборы являются наследственными, потому что единственный вид объекта, который даже является кандидатом на роль элемента набора, - это другой набор. Таким образом, понятие наследственного множества интересно только в контексте, в котором могут быть урэлементы.

Предположения

Индуктивное определение наследственных множеств предполагает, что принадлежность множеств обоснованный (т.е. аксиома регулярности ), иначе повторение может не иметь единственного решения. Однако его можно неиндуктивно переформулировать следующим образом: множество наследственно тогда и только тогда, когда его переходное закрытие содержит только наборы. Таким образом, понятие наследственных множеств также может быть расширено на необоснованные теории множеств в которых наборы могут быть членами самих себя. Например, набор, который содержит только себя, является наследственным набором.

Смотрите также

• Наследственно счетное множество
• Наследственно конечное множество
• Обоснованный набор

Рекомендации

• Кунен, Кеннет (1980). Теория множеств: введение в доказательства независимости. Северная Голландия. ISBN  0-444-85401-0.