Теорема Хартогсса - Hartogss theorem

В математика, Теорема Хартогса является фундаментальным результатом Фридрих Хартогс в теории несколько сложных переменных. Грубо говоря, он утверждает, что «отдельно аналитическая» функция непрерывна. Точнее, если это функция, которая аналитический в каждой переменной zя, 1 ≤ яп, в то время как другие переменные остаются постоянными, то F это непрерывная функция.

А следствие в том, что функция F тогда фактически является аналитической функцией в п-переменный смысл (т.е. локально он имеет Расширение Тейлора ). Следовательно, «раздельная аналитичность» и «аналитичность» - совпадающие понятия в теории нескольких комплексных переменных.

Начиная с дополнительной гипотезы, что функция непрерывна (или ограничена), теорему намного проще доказать, и в этой форме она известна как Лемма Осгуда.

Учтите, что аналога этому нет теорема за настоящий переменные. Если предположить, что функция является дифференцируемый (или даже аналитический ) в каждой переменной отдельно, неверно, что обязательно будет непрерывным. Контрпример в двух измерениях дает

Если дополнительно определить , эта функция имеет четко определенный частные производные в и в происхождении, но это не непрерывный в происхождении. (Действительно, пределы вдоль линий и не равны, поэтому нет возможности расширить определение чтобы включить источник и обеспечить непрерывность функции там.)

Рекомендации

  • Стивен Г. Кранц. Теория функций нескольких комплексных переменных, AMS Chelsea Publishing, Провиденс, Род-Айленд, 1992.

внешняя ссылка

  • "Теорема Хартогса", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]

В эту статью включен материал из теоремы Хартогса о раздельной аналитичности на PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.[мертвая ссылка ]. Но url =http://planetmath.org/hartogsstheoremonseparateanalyticity доступен.