Теорема Хартогсса - Hartogss theorem

Обратите внимание, что терминология непоследовательна, и теорема Хартогса также может означать Лемма Хартогса на устранимых особенностях результат на Число Хартогса в аксиоматической теории множеств, или Теорема Хартогса о продолжении.

В математика, Теорема Хартогса является фундаментальным результатом Фридрих Хартогс в теории несколько сложных переменных. Грубо говоря, он утверждает, что «отдельно аналитическая» функция непрерывна. Точнее, если ${\displaystyle F:{\textbf {C}}^{n}\to {\textbf {C}}}$ это функция, которая аналитический в каждой переменной z_я, 1 ≤ я ≤ п, в то время как другие переменные остаются постоянными, то F это непрерывная функция.

А следствие в том, что функция F тогда фактически является аналитической функцией в п-переменный смысл (т.е. локально он имеет Расширение Тейлора ). Следовательно, «раздельная аналитичность» и «аналитичность» - совпадающие понятия в теории нескольких комплексных переменных.

Начиная с дополнительной гипотезы, что функция непрерывна (или ограничена), теорему намного проще доказать, и в этой форме она известна как Лемма Осгуда.

Учтите, что аналога этому нет теорема за настоящий переменные. Если предположить, что функция ${\displaystyle f\colon {\textbf {R}}^{n}\to {\textbf {R}}}$ является дифференцируемый (или даже аналитический ) в каждой переменной отдельно, неверно, что ${\displaystyle f}$ обязательно будет непрерывным. Контрпример в двух измерениях дает

${\displaystyle f(x,y)={\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}.}$

Если дополнительно определить ${\displaystyle f(0,0)=0}$, эта функция имеет четко определенный частные производные в ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ в происхождении, но это не непрерывный в происхождении. (Действительно, пределы вдоль линий ${\displaystyle x=y}$ и ${\displaystyle x=-y}$ не равны, поэтому нет возможности расширить определение ${\displaystyle f}$ чтобы включить источник и обеспечить непрерывность функции там.)

Рекомендации

• Стивен Г. Кранц. Теория функций нескольких комплексных переменных, AMS Chelsea Publishing, Провиденс, Род-Айленд, 1992.

внешняя ссылка

• "Теорема Хартогса", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]

В эту статью включен материал из теоремы Хартогса о раздельной аналитичности на PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.^{[мертвая ссылка ]}. Но url =http://planetmath.org/hartogsstheoremonseparateanalyticity доступен.