Гармоническая форма Маасса - Harmonic Maass form

В математика, а слабая форма Маасса гладкая функция ${\displaystyle f}$ в верхней полуплоскости, трансформируясь как модульная форма под действием модульная группа, будучи собственная функция соответствующего гиперболического Оператор Лапласа, и имеющий не более чем линейный экспоненциальный рост на вершинах. Если собственное значение ${\displaystyle f}$ под лапласианом равна нулю, то ${\displaystyle f}$ называется гармоническая слабая форма Маасса, или кратко гармоническая форма Маасса.

Слабая форма Маасса с умеренным ростом на куспидах - это классический Форма волны Маасса.

Разложения Фурье гармонических форм Маасса часто кодируют интересные комбинаторные, арифметические или геометрические производящие функции. Регуляризованные тета-лифты гармонических форм Маасса могут быть использованы для построения Аракелов Функции Грина для специальных дивизоров на ортогональных Сорта Шимура.

Определение

А комплексный гладкая функция ${\displaystyle f}$ на верхняя полуплоскость  ЧАС = {z ∈ C:  Я (z) > 0}  называется слабая форма Маасса интегрального веса k (для группы SL (2, Z)), если он удовлетворяет следующим трем условиям:

(1) Для каждой матрицы ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} )}$ функция ${\displaystyle f}$ удовлетворяет закону модульного преобразования

${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=(cz+d)^{k}f(z).}$

(2) ${\displaystyle f}$ является собственной функцией веса k гиперболический лапласиан

${\displaystyle \Delta _{k}=-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)+iky\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right),}$

куда ${\displaystyle z=x+iy.}$

(3) ${\displaystyle f}$ имеет не более чем линейный экспоненциальный рост в точке возврата, то есть существует постоянная C > 0 такой, что  ж (z) = О(е^Сай) в качестве ${\displaystyle y\to \infty .}$

Если ${\displaystyle f}$ является слабой формой Маасса с собственным значением 0 при ${\displaystyle \Delta _{k}}$, то есть если ${\displaystyle \Delta _{k}f=0}$, тогда ${\displaystyle f}$ называется гармоническая слабая форма Маасса, или кратко гармоническая форма Маасса.

Основные свойства

Каждая гармоническая форма Маасса ${\displaystyle f}$ веса ${\displaystyle k}$ имеет разложение Фурье вида

${\displaystyle f(z)=\sum \nolimits _{n\geq n^{+}}c^{+}(n)q^{n}+\sum \nolimits _{n\leq n^{-}}c^{-}(n)\Gamma (1-k,-4\pi ny)q^{n},}$

куда  q = е^2πiz, и ${\displaystyle n^{+},n^{-}}$ целые числа в зависимости от ${\displaystyle f.}$ Более того,

${\displaystyle \Gamma (s,y)=\int _{y}^{\infty }t^{s-1}e^{-t}dt}$

обозначает неполная гамма-функция (что следует интерпретировать соответствующим образом, когда  п=0 ). Первое слагаемое называется голоморфная часть, а второе слагаемое называется неголоморфная часть из ${\displaystyle f.}$

Существует комплексный антилинейный дифференциальный оператор ${\displaystyle \xi _{k}}$ определяется

${\displaystyle \xi _{k}(f)(z)=2iy^{k}{\overline {{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}f(z)}}.}$

С ${\displaystyle \Delta _{k}=-\xi _{2-k}\xi _{k}}$, образ гармонической формы Маасса слабо голоморфен. Следовательно, ${\displaystyle \xi _{k}}$ определяет карту из векторного пространства ${\displaystyle H_{k}}$ гармонических форм веса Маасса ${\displaystyle k}$ в космос ${\displaystyle M_{2-k}^{!}}$ слабо голоморфных модулярных форм веса ${\displaystyle 2-k.}$ Это было доказано в (Брюинье и Функе 2004 ) (для произвольных весов, систем множителей и подгрупп конгруэнций), что это отображение сюръективно. Следовательно, существует точная последовательность

${\displaystyle 0\to M_{k}^{!}\to H_{k}\to M_{2-k}^{!}\to 0,}$

дает ссылку на алгебраическую теорию модулярных форм. Важное подпространство ${\displaystyle H_{k}}$ это пространство ${\displaystyle H_{k}^{+}}$ гармонических форм Маасса, которые отображаются в куспид при ${\displaystyle \xi _{k}}$.

Если гармонические формы Маасса интерпретировать как гармонические участки линейный пакет модульных форм веса ${\displaystyle k}$ оснащен Петерссон над модулярной кривой, то этот дифференциальный оператор можно рассматривать как композицию Звездный оператор Ходжа и антиголоморфный дифференциал. Понятие гармонических форм Маасса естественным образом обобщается на произвольные конгруэнтные подгруппы и (скалярные и векторные) системы множителей.

Примеры

• Всякая слабо голоморфная модулярная форма является гармонической формой Маасса.
• Неголоморфный Серия Эйзенштейна

${\displaystyle E_{2}(z)=1-{\frac {3}{\pi y}}-24\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{1}(n)q^{n}}$

веса 2 является гармонической формой Маасса веса 2.

• Загиера Серия Эйзенштейна  E_3/2  веса 3/2 (Загир 1975 ) - гармоническая форма Маасса веса 3/2 (для группы Γ₀(4)). Его изображение под ${\displaystyle \xi _{3/2}}$ ненулевое кратное тета-функции Якоби

${\displaystyle \theta (z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }q^{n^{2}}.}$

• Производная некогерентного ряда Эйзенштейна веса 1, связанная с мнимым квадратичным порядком (Кудла, Рапопорт и Ян 1999 ) - гармоническая форма Маасса веса 1.
• А макет модульной формы (Цвегерс 2002 ) - голоморфная часть гармонической формы Маасса.
• Пуанкаре серия построена с M-Функция Уиттекера - слабые формы Маасса (Фэй 1977 ), (Хейхал 1983 ). Когда спектральный параметр специализируется на гармонической точке, они приводят к гармоническим маассовым формам.
• Оценка Дзета-функция Вейерштрасса на Эйхлер интеграл веса 2 новой формы, соответствующей рациональному эллиптическая кривая  E  может использоваться, чтобы связать гармоническую форму Маасса веса 0 с  E  (Alfes et al. 2015 г. ).
• Одновременные производящие ряды для значений на дивизорах Хегнера и интегралах по геодезическим циклам Кляйна J-функция (нормированная таким образом, что постоянный член обращается в нуль) является гармонической формой Маасса веса 1/2 (Герцог, Имамоглу и Тот 2011 ).

История

Приведенное выше абстрактное определение гармонических форм Маасса вместе с систематическим исследованием их основных свойств было впервые дано Брюинье и Функе (Брюинье и Функе 2004 ). Однако многие примеры, такие как ряды Эйзенштейна и ряды Пуанкаре, уже были известны ранее. Независимо, Zwegers разработал теорию фиктивных модульных форм, которая также связана с гармоническими формами Маасса (Цвегерс 2002 ).

Алгебраическая теория интегральных весовых гармонических форм Маасса в стиле Кац был разработан Candelori (Канделори 2014 ).

Процитированные работы

• Альфес, Клаудиа; Гриффин, Майкл; Оно, Кен; Ролен, Ларри (2015), "Имитация модульных форм Вейерштрасса и эллиптических кривых", Исследования в области теории чисел, 1:24
• Брюинье, Ян Хендрик; Функе, Йенс (2004), «О двух геометрических тета-лифтах», Математический журнал герцога, 125 (1): 45–90, arXiv:математика / 0212286, Дои:10.1215 / S0012-7094-04-12513-8, ISSN  0012-7094, МИСТЕР  2097357
• Канделори, Лука (2014), «Гармонические слабые формы Маасса: геометрический подход», Mathematische Annalen, 360 (1–2): 489–517, Дои:10.1007 / s00208-014-1043-5
• Герцог, Уильям; Имамоглу, Озлем; Тот, Арпад (2011), "Циклические интегралы j-функции и фиктивные модульные формы", Анналы математики, Вторая серия, 173 (2): 947–981, Дои:10.4007 / летопись.2011.173.2.8
• Фэй, Джон (1977), "Коэффициенты Фурье резольвенты для фуксовой группы", Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 294: 143–203
• Хейхал, Деннис (1983), Формула следа Сельберга для PSL (2, R), Конспект лекций по математике, 1001, Springer-Verlag.
• Кудла, Стив; Рапопорт, Майкл; Ян, Тонхай (1999), "О производной ряда Эйзенштейна веса один", Уведомления о международных математических исследованиях, 1999 (7): 347–385, Дои:10.1155 / S1073792899000185
• Оно, Кен (2009), Разоблачение видения мастера: гармонические формы Маасса и теория чисел, Текущие достижения в математике, 2008, Int. Press, Somerville, стр. 347–454.
• Загье, Дон (1975), "Nombres de classes et formes modulaires de poids 3/2", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A (На французском), 281: 883–886
• Цвегерс, С. П. (2002), Мок-тета-функции (Докторская диссертация), Утрехтский университет, ISBN  978-90-393-3155-2