Хариш-Чандрас c-функция - Harish-Chandras c-function

В математика, Хариш-Чандры c-функция функция, связанная с оператор переплетения между двумя основная серия представления, которые появляются в Планшерель мера за полупростые группы Ли. Хариш-Чандра  (1958a, 1958b ) ввел его частный случай, определенный в терминах асимптотики зональная сферическая функция группы Ли и Хариш-Чандра (1970 ) ввел более общий c-функция называется Хариш-Чандры (обобщенный) C-функция. Гиндикин и Карпелевич  (1962, 1969 ) представил Формула Гиндикина – Карпелевича, формула продукта для Harish-Chandra's c-функция.

Хариш-Чандры c-функция

Формула Гиндикина – Карпелевича

C-функция имеет обобщение c_ш(λ) в зависимости от элемента ш из Группа Вейля.Уникальный элемент наибольшей длины.s₀, является единственным элементом, несущим камеру Вейля ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{+}^{*}}$ на ${\displaystyle -{\mathfrak {a}}_{+}^{*}}$. По интегральной формуле Хариш-Чандры c_s0 Хариш-Чандра c-функция:

${\displaystyle c(\lambda )=c_{s_{0}}(\lambda ).}$

В c-функции в общем случае определяются уравнением

${\displaystyle \displaystyle A(s,\lambda )\xi _{0}=c_{s}(\lambda )\xi _{0},}$

где ξ₀ - постоянная функция 1 в L²(K/M). Свойство коцикла сплетающих операторов влечет аналогичное мультипликативное свойство для c-функции:

${\displaystyle c_{s_{1}s_{2}}(\lambda )=c_{s_{1}}(s_{2}\lambda )c_{s_{2}}(\lambda )}$

при условии

${\displaystyle \ell (s_{1}s_{2})=\ell (s_{1})+\ell (s_{2}).}$

Это сокращает вычисление c_s к случаю, когда s = s_α, отражение в (простом) корне α, так называемое "редукция первого ранга" Гиндикин и Карпелевич (1962) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFGindikinKarpelevič1962 (помощь). Фактически в интеграл входит только замкнутая связная подгруппа грамм^α соответствующей подалгебре Ли, порожденной ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\pm \alpha }}$ где α лежит в Σ₀⁺. потом грамм^α - вещественная полупростая группа Ли вещественного ранга один, т. е. dim А^α = 1 и c_s это просто Хариш-Чандра c-функция грамм^α. В этом случае c-функция может быть вычислена напрямую и определяется как

${\displaystyle c_{s_{\alpha }}(\lambda )=c_{0}{2^{-i(\lambda ,\alpha _{0})}\Gamma (i(\lambda ,\alpha _{0})) \over \Gamma ({1 \over 2}({1 \over 2}m_{\alpha }+1+i(\lambda ,\alpha _{0}))\Gamma ({1 \over 2}({1 \over 2}m_{\alpha }+m_{2\alpha }+i(\lambda ,\alpha _{0}))},}$

куда

${\displaystyle c_{0}=2^{m_{\alpha }/2+m_{2\alpha }}\Gamma \left({1 \over 2}(m_{\alpha }+m_{2\alpha }+1)\right)}$

и α₀= α / 〈α, α〉.

Общая формула Гиндикина – Карпелевича для c(λ) является непосредственным следствием этой формулы и мультипликативных свойств c_s(λ) следующим образом:

${\displaystyle c(\lambda )=c_{0}\prod _{\alpha \in \Sigma _{0}^{+}}{2^{-i(\lambda ,\alpha _{0})}\Gamma (i(\lambda ,\alpha _{0})) \over \Gamma ({1 \over 2}({1 \over 2}m_{\alpha }+1+i(\lambda ,\alpha _{0}))\Gamma ({1 \over 2}({1 \over 2}m_{\alpha }+m_{2\alpha }+i(\lambda ,\alpha _{0}))},}$

где постоянная c₀ выбирается так, чтобы c(–Iρ) = 1 (Хельгасон 2000, с.447).

Планшерель мера

В c-функция появляется в Теорема Планшереля для сферических функций, а мера Планшереля равна 1 /c² раз мера Лебега.

Обобщенная C-функция

p-адические группы Ли

Есть похожий c-функция для п-адические группы Ли. Макдональд (1968, 1971 ) и Ленглендс (1971) нашел аналогичную формулу продукта для c-функция п-адическая группа Ли.

Рекомендации

• Кон, Лесли (1974), Аналитическая теория C-функции Хариш-Чандры, Конспект лекций по математике, 429, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007 / BFb0064335, МИСТЕР  0422509
• Доран, Роберт С .; Варадараджан, В. С., ред. (2000), «Математическое наследие Хариш-Чандры», Материалы специальной сессии AMS по теории представлений и некоммутативному гармоническому анализу, проводившейся в память о Хариш-Чандре по случаю 75-летия со дня его рождения в Балтиморе, штат Мэриленд, 9–10 января 1998 г., Труды симпозиумов по чистой математике, 68, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, стр. xii + 551, ISBN  978-0-8218-1197-9, МИСТЕР  1767886
• Гиндикин, С.Г .; Карпелевич, Ф. И. (1962), "Мера Планшереля для симметрических римановых пространств неположительной кривизны", Советская математика. Докл., 3: 962–965, ISSN  0002-3264, МИСТЕР  0150239
• Гиндикин, С.Г .; Карпелевич, Ф. И. (1969) [1966], "Об интеграле, ассоциированном с римановыми симметрическими пространствами неположительной кривизны", Двенадцать статей по функциональному анализу и геометрии, Переводы Американского математического общества, 85, стр. 249–258, ISBN  978-0-8218-1785-8, МИСТЕР  0222219
• Хариш-Чандра (1958a), "Сферические функции на полупростой группе Ли. I", Американский журнал математики, 80: 241–310, Дои:10.2307/2372786, ISSN  0002-9327, JSTOR  2372786, МИСТЕР  0094407
• Хариш-Чандра (1958b), "Сферические функции на полупростой группе Ли II", Американский журнал математики, Издательство Университета Джона Хопкинса, 80 (3): 553–613, Дои:10.2307/2372772, ISSN  0002-9327, JSTOR  2372772
• Хариш-Чандра (1970), "Гармонический анализ полупростых групп Ли", Бюллетень Американского математического общества, 76: 529–551, Дои:10.1090 / S0002-9904-1970-12442-9, ISSN  0002-9904, МИСТЕР  0257282
• Хелгасон, Сигурдур (1994), "c-функция Хариш-Чандры. Математическая жемчужина", в Tanner, Elizabeth A .; Уилсон., Радж (ред.), Некомпактные группы Ли и некоторые их приложения (Сан-Антонио, Техас, 1993), НАТО Adv. Sci. Inst. Сер. C Math. Phys. Наук, 429, Дордрехт: Kluwer Acad. Publ., Pp. 55–67, ISBN  978-0-7923-2787-5, МИСТЕР  1306516, Печатается в (Доран и Варадараджан 2000 )
• Хельгасон, Сигурдур (2000) [1984], Группы и геометрический анализ, Математические обзоры и монографии, 83, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-2673-7, МИСТЕР  1790156
• Кнапп, Энтони В. (2003), «Формула Гиндикина-Карпелевича и сплетающие операторы», в Гиндикине, С. Г. (ред.), Группы Ли и симметрические пространства. Памяти Ф. И. Карпелевича, Амер. Математика. Soc. Пер. Сер. 2, 210, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, стр. 145–159, ISBN  978-0-8218-3472-5, МИСТЕР  2018359
• Ленглендс, Роберт П. (1971) [1967], Продукты Эйлера, Издательство Йельского университета, ISBN  978-0-300-01395-5, МИСТЕР  0419366
• Макдональд, И.Г. (1968), "Сферические функции на p-адической группе Шевалле", Бюллетень Американского математического общества, 74 (3): 520–525, Дои:10.1090 / S0002-9904-1968-11989-5, ISSN  0002-9904, МИСТЕР  0222089
• Макдональд, И.Г. (1971), Сферические функции на группе p-адического типа, Конспекты лекций Института Рамануджана, 2, Институт Рамануджана, Центр перспективных исследований в области математики, Мадрасский университет, Мадрас, МИСТЕР  0435301
• Валлах, Нолан Р. (1975), "Об обобщенных C-функциях Хариш-Чандры", Американский журнал математики, 97: 386–403, Дои:10.2307/2373718, ISSN  0002-9327, JSTOR  2373718, МИСТЕР  0399357