Теорема Гальперна – Лаухли - Halpern–Läuchli theorem

В математика, то Теорема Гальперна – Лаухли результат разбиения конечных произведений бесконечных деревья. Его первоначальная цель состояла в том, чтобы дать модель теории множеств, в которой Теорема о булевом простом идеале правда, но аксиома выбора ложно. Ее часто называют теоремой Гальперна – Лаухли, но правильная атрибуция этой теоремы в том виде, в котором она сформулирована ниже, - это Гальперна – Лаучли – Лавера – Пинкуса или HLLP (названная в честь Джеймса Д. Халперна, Ханса Лаучли, Ричард Лейвер, и Дэвид Пинкус), следуя Милликен (1979).

Пусть d, r <ω, ${displaystyle langle T_{i}:iin dangle }$ - последовательность конечно расщепляющихся деревьев высоты ω. Позволять

${displaystyle igcup _{nin omega }left(prod _{i<d}T_{i}(n)ight)=C_{1}cup cdots cup C_{r},}$

тогда существует последовательность поддеревьев ${displaystyle langle S_{i}:iin dangle }$ сильно внедренный в ${displaystyle langle T_{i}:iin dangle }$ такой, что

${displaystyle igcup _{nin omega }left(prod _{i<d}S_{i}(n)ight)subset C_{k}{ ext{ for some }}kleq r.}$

В качестве альтернативы пусть

${displaystyle S_{langle T_{i}:iin dangle }^{d}=igcup _{nin omega }left(prod _{i<d}T_{i}(n)ight)}$

и

${displaystyle mathbb {S} ^{d}=igcup _{langle T_{i}:iin dangle }S_{langle T_{i}:iin dangle }^{d}.}$.

Теорема HLLP утверждает, что не только набор ${displaystyle mathbb {S} ^{d}}$ перегородка регулярная для каждого d < ω, но однородное поддерево, гарантированное теоремой, есть сильно внедренный в

${displaystyle T=langle T_{i}:iin dangle .}$

использованная литература

• Halpern, J.D .; Läuchli, H. (1966), "Теорема разбиения", Труды Американского математического общества, 124: 360–367, Дои:10.1090 / с0002-9947-1966-0200172-2, Г-Н  0200172
• Милликен, Кейт Р. (1979), "Теорема Рамсея для деревьев", Журнал комбинаторной теории, Серия А, 26 (3): 215–237, Дои:10.1016/0097-3165(79)90101-8, Г-Н  0535155
• Милликен, Кейт Р. (1981), "Теорема о разбиении для бесконечных поддеревьев дерева", Труды Американского математического общества, 263 (1): 137–148, Дои:10.1090 / с0002-9947-1981-0590416-8, Г-Н  0590416
• Пинкус, Дэвид; Халперн, Дж. Д. (1981), "Перегородки продуктов", Труды Американского математического общества, 267 (2): 549–568, Дои:10.1090 / s0002-9947-1981-0626489-3, Г-Н  0626489