Гипотеза Холла - Halls conjecture

В математика, Гипотеза Холла вопрос открытый, по состоянию на 2015 г.^{[Обновить]}, о различиях между идеальные квадраты и идеальные кубики. Он утверждает, что идеальный квадрат у² и идеальный куб Икс³ которые не равны, должны находиться на значительном расстоянии друг от друга. Этот вопрос возник в результате рассмотрения Уравнение морделла в теории целые точки на эллиптические кривые.

Первоначальная версия гипотезы Холла, сформулированная Маршалл Холл младший в 1970 году, говорит, что существует положительная постоянная C такой, что для любых целых чисел Икс и у для которого у² ≠ Икс³,

${\displaystyle |y^{2}-x^{3}|>C{\sqrt {|x|}}.}$

Холл предположил, что возможно C можно было принять за 1/5, что согласовывалось со всеми данными, известными на момент выдвижения гипотезы. Данилов в 1982 году показал, что показатель степени 1/2 в правой части (то есть использование |Икс|^1/2) не может быть заменен какой-либо более высокой степенью: для любого δ> 0 существует ли постоянная C такой, что |у² - Икс³| > C |Икс|^{1/2 + δ} в любое время у² ≠ Икс³.

В 1965 году Давенпорт доказал аналог вышеприведенной гипотезы в случае многочленов: если ж(т) и грамм(т) ненулевые многочлены над C такой, что грамм(т)³ ≠ ж(т)² в C[т], тогда

${\displaystyle \deg(g(t)^{2}-f(t)^{3})\geq {\frac {1}{2}}\deg f(t)+1.}$

В слабый форма гипотезы Холла, сформулированная Старком и Троттером около 1980 г., заменяет квадратный корень в правой части неравенства любым показателем меньше чем 1/2: для любого ε > 0 существует некоторая постоянная c(ε) зависящая от ε такая, что для любых целых чисел Икс и у для которого у² ≠ Икс³,

${\displaystyle |y^{2}-x^{3}|>c(\varepsilon )x^{1/2-\varepsilon }.}$

Оригинал, сильный, форма гипотезы с показателем 1/2 никогда не опровергалась, хотя она больше не считается верной и член Гипотеза Холла теперь обычно означает версию с буквой ε в ней. Например, в 1998 г. Ноам Элкис нашел пример

447884928428402042307918² - 5853886516781223³ = -1641843,

для которого совместимость с гипотезой Холла потребовала бы C быть меньше 0,0214 ≈ 1/50, то есть примерно в 10 раз меньше, чем первоначальный выбор 1/5, предложенный Холлом.

Слабая форма гипотезы Холла вытекает из Гипотеза ABC.^[1] Обобщение на другие совершенные силы Гипотеза Пиллаи.

В таблице ниже представлены известные случаи с ${\displaystyle r={\sqrt {x}}/|y^{2}-x^{3}|>1}$. Обратите внимание, что у может быть вычислено как ближайшее целое число к Икс^3/2.

#	Икс	р
1	2	1.41
2	5234	4.26	[а]
3	8158	3.76	[а]
4	93844	1.03	[а]
5	367806	2.93	[а]
6	421351	1.05	[а]
7	720114	3.77	[а]
8	939787	3.16	[а]
9	28187351	4.87	[а]
10	110781386	1.23	[а]
11	154319269	1.08	[а]
12	384242766	1.34	[а]
13	390620082	1.33	[а]
14	3790689201	2.20	[а]
15	65589428378	2.19	[b]
16	952764389446	1.15	[b]
17	12438517260105	1.27	[b]
18	35495694227489	1.15	[b]
19	53197086958290	1.66	[b]
20	5853886516781223	46.60	[b]
21	12813608766102806	1.30	[b]
22	23415546067124892	1.46	[b]
23	38115991067861271	6.50	[b]
24	322001299796379844	1.04	[b]
25	471477085999389882	1.38	[b]
26	810574762403977064	4.66	[b]
27	9870884617163518770	1.90	[c]
28	42532374580189966073	3.47	[c]
29	51698891432429706382	1.75	[c]
30	44648329463517920535	1.79	[c]
31	231411667627225650649	3.71	[c]
32	601724682280310364065	1.88	[c]
33	4996798823245299750533	2.17	[c]
34	5592930378182848874404	1.38	[c]
35	14038790674256691230847	1.27	[c]
36	77148032713960680268604	10.18	[d]
37	180179004295105849668818	5.65	[d]
38	372193377967238474960883	1.33	[c]
39	664947779818324205678136	16.53	[c]
40	2028871373185892500636155	1.14	[d]
41	10747835083471081268825856	1.35	[c]
42	37223900078734215181946587	1.38	[c]
43	69586951610485633367491417	1.22	[e]
44	3690445383173227306376634720	1.51	[c]
45	133545763574262054617147641349	1.69	[e]
46	162921297743817207342396140787	10.65	[e]
47	374192690896219210878121645171	2.97	[e]
48	401844774500818781164623821177	1.29	[e]
49	500859224588646106403669009291	1.06	[e]
50	1114592308630995805123571151844	1.04	[f]
51	39739590925054773507790363346813	3.75	[e]
52	862611143810724763613366116643858	1.10	[e]
53	1062521751024771376590062279975859	1.006	[e]
54	6078673043126084065007902175846955	1.03	[c]

1. J. Gebel, A. Pethö и H.G. Zimmer.
2. Ноам Д. Элкис.
3. И. Хименес Кальво, Х. Эрранц и Г. Саес.
4. Йохан Босман (с использованием программного обеспечения JHS).
5. С. Аандераа, Л. Кристиансен и Х.К. Рууд.
6. Л.В. Данилов. Пункт 50 принадлежит бесконечной последовательности, найденной Даниловым.

Рекомендации

1. Шмидт, Вольфганг М. (1996). Диофантовы приближения и диофантовы уравнения. Конспект лекций по математике. 1467 (2-е изд.). Springer-Verlag. С. 205–206. ISBN  3-540-54058-Х. Zbl  0754.11020.

• Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Springer-Verlag. D9. ISBN  978-0-387-20860-2. Zbl  1058.11001.
• Холл-младший, Маршалл (1971). "Диофантово уравнение Икс³ - у² = k". В Аткин, А.О.Л.; Берч, Б. Дж. (ред.). Компьютеры в теории чисел. С. 173–198. ISBN  0-12-065750-3. Zbl  0225.10012.
• Элкис, Н.Д. "Рациональные точки вблизи кривых и малых ненулевых | 'x³ - у²'| через редукцию решетки ", http://arxiv.org/abs/math/0005139
• Данилов Л.В. Диофантово уравнение 'x³ - у² «'= k' и гипотеза Холла», «Математика. Заметки АН СССР». 32(1982), 617-618.
• Gebel, J., Pethö, A., и Zimmer, H.G .: «Об уравнении Морделла», Compositio Math. 110(1998), 335-367.
• И. Хименес Кальво, Х. Эрранц и Г. Саес Морено, "Новый алгоритм поиска малых ненулевых | 'x3 - y2' | значений", 'Math. Comp. ' 78 (2009), стр. 2435-2444.
• С. Аандераа, Л. Кристиансен и Х. К. Рууд, "Поиск хороших примеров гипотезы Холла", 'Math. Comp. ' 87 (2018), 2903-2914.

внешняя ссылка

• страница о проблеме к Ноам Элкис