Теорема Хабуша - Haboushs theorem

В математика Теорема Хабуша, часто еще называемый Гипотеза Мамфорда, утверждает, что для любого полупростая алгебраическая группа грамм через поле K, и для любого линейного представления ρ оператора грамм на K-векторное пространство V, данный v ≠ 0 дюйм V что фиксируется действием грамм, Существует грамм-инвариантный многочлен F на V, без постоянного члена, такие что

F(v) ≠ 0.

Полином можно считать однородный, другими словами, элемент симметричной степени двойственного V, а если характеристика п> 0 степень многочлена можно принять за степень п.Когда K имеет характеристику 0, это было хорошо известно; на самом деле теорема Вейля о полной приводимости представлений грамм подразумевает, что F можно даже считать линейным. Гипотеза Мамфорда о продолжении до простой характеристики п было доказано W.J. Хабуш (1975), примерно через десять лет после того, как проблема была поставлена Дэвид Мамфорд во введении к первому изданию его книги Геометрическая теория инвариантов.

Приложения

Теорема Хабуша может быть использована для обобщения результатов геометрическая теория инвариантов от характеристики 0, где они уже были известны, к характеристике п> 0. В частности, более ранние результаты Нагаты вместе с теоремой Хабуша показывают, что если редуктивная группа (над алгебраически замкнутым полем) действует на конечно порожденной алгебре, то фиксированная подалгебра также конечно порождена.

Из теоремы Хабуша следует, что если грамм редуктивная алгебраическая группа, регулярно действующая на аффинном алгебраическом многообразии, то непересекающиеся замкнутые инвариантные множества Икс и Y можно разделить инвариантной функцией ж (это означает, что ж 0 на Икс и 1 на Y).

C.S. Seshadri (1977) распространил теорему Хабуша на редуктивные группы над схемами.

Это следует из работы Нагата (1963), Хабуш и Попов, что следующие условия эквивалентны для аффинной алгебраической группы грамм над полем K:

  • грамм редуктивен (его унипотентный радикал тривиален).
  • Для любого ненулевого инвариантного вектора в рациональном представлении грамм, существует инвариантный однородный многочлен, не обращающийся в нуль.
  • Для любого конечно порожденного K алгебра, на которой грамм действуют рационально, алгебра фиксированных элементов конечно порождена.

Доказательство

Теорема доказывается в несколько этапов:

  • Можно считать, что группа определена над алгебраически замкнутый поле K характерных п>0.
  • С конечными группами легко иметь дело, поскольку можно просто взять произведение по всем элементам, поэтому можно свести к случаю связаны редуктивные группы (поскольку связная компонента имеет конечный индекс). Взяв безвредное центральное расширение, можно также предположить, что группа грамм является односвязный.
  • Позволять А(грамм) - координатное кольцо грамм. Это представление грамм с грамм действуя левыми переводами. Выберите элемент v ′ двойного V который имеет значение 1 на инвариантном векторе v. Карта V к А(грамм) отправив ш∈V к элементу а∈А(грамм) с а(грамм) = v′(грамм(ш)). Это отправляет v к 1∈А(грамм), поэтому можно считать, что V⊂А(грамм) и v=1.
  • Структура представительства А(грамм) задается следующим образом. Выберите максимальный тор Т из грамм, и пусть действует А(грамм) правильными переводами (так что он коммутирует с действием грамм). потом А(грамм) разбивается как сумма по характерам λ Т субпредставлений А(грамм)λ элементов, преобразующихся согласно λ. Итак, мы можем предположить, что V содержится в Т-инвариантное подпространство А(грамм)λ из А(грамм).
  • Представление А(грамм)λ является возрастающим объединением подпредставлений вида Eλ +пρ⊗Eпρ, где ρ - вектор Вейля для выбора простых корней Т, п положительное целое число, и Eμ это пространство секций линейный пакет над грамм/B соответствующему характеру μ из Т, куда B это Подгруппа Бореля содержащий Т.
  • Если п достаточно велик, то Eпρ имеет размер (п+1)N куда N - количество положительных корней. Это связано с тем, что в характеристике 0 соответствующий модуль имеет эту размерность на Формула характера Вейля, и для п достаточно большой, чтобы связать линию грамм/B является очень обильный, Eпρ имеет ту же размерность, что и в характеристике 0.
  • Если q=пр для положительного целого числа р, и п=q−1, то Eпρ содержит Представление Штейнберга из грамм(Fq) размерности qN. (Здесь Fq ⊂ K конечное поле порядка q.) Представление Штейнберга является неприводимым представлением грамм(Fq) и, следовательно, грамм(K), и для р достаточно большой, он имеет тот же размер, что и Eпρ, поэтому существует бесконечно много значений п такой, что Eпρ неприводимо.
  • Если Eпρ неприводимо, оно изоморфно своему двойственному, поэтому Eпρ⊗Eпρ изоморфна End (Eпρ). Следовательно Т-инвариантное подпространство А(грамм)λ из А(грамм) - возрастающее объединение подпредставлений вида End (E) для представлений E (в форме E(q−1) ρ)). Однако для представлений вида End (E) инвариантный многочлен, разделяющий 0 и 1, задается определителем. На этом набросок доказательства теоремы Хабуша завершен.

Рекомендации