Строительство Гротендика - Grothendieck construction

В Строительство Гротендика (названный в честь Александр Гротендик ) - конструкция, используемая в математической области теория категорий.

Определение

Позволять ${ Displaystyle F двоеточие { mathcal {C}} rightarrow mathbf {Cat}}$ быть функтор из любой малой категории в категория малых категорий. Конструкция Гротендика для ${ displaystyle F}$ это категория ${ Displaystyle Gamma (F)}$ (также написано ${ Displaystyle textstyle int _ { textstyle { mathcal {C}}} F}$ , ${ Displaystyle textstyle { mathcal {C}} int F}$ или же ${ displaystyle F rtimes { mathcal {C}}}$ ), с

объекты являются парами ${ Displaystyle (с, х)}$ , куда ${ displaystyle c in operatorname {obj} ({ mathcal {C}})}$ и ${ displaystyle x in operatorname {obj} (F (c))}$ ; и
морфизмы в ${ displaystyle operatorname {hom} _ { Gamma (F)} ((c_ {1}, x_ {1}), (c_ {2}, x_ {2}))}$ быть парами ${ Displaystyle (е, г)}$ такой, что ${ displaystyle f: c_ {1} to c_ {2}}$ в ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ , и ${ displaystyle g: F (f) (x_ {1}) to x_ {2}}$ в ${ Displaystyle F (c_ {2})}$ .

Состав морфизмов определяется ${ displaystyle (е, g) circ (f ', g') = (f circ f ', g circ F (f) (g'))}$ .

Лозунг

«Конструкция Гротендика берет структурированные табличные данные и сглаживает их, помещая все в одно большое пространство. Затем проекционный функтор должен запоминать, из какого ящика изначально были взяты данные». ^[1]

Пример

Если ${ displaystyle G}$ это группа, то его можно рассматривать как категория, ${ displaystyle { mathcal {C}} _ {G},}$ с одним объектом и все морфизмы обратимы. Позволять ${ displaystyle F: { mathcal {C}} _ {G} to mathbf {Cat}}$ быть функтором, значение которого в единственном объекте ${ Displaystyle { mathcal {C}} _ {G}}$ это категория ${ displaystyle { mathcal {C}} _ {H},}$ категория, представляющая группу ${ displaystyle H}$ таким же образом. Требование, чтобы ${ displaystyle F}$ быть функтором, тогда эквивалентно указанию групповой гомоморфизм ${ displaystyle varphi: G to operatorname {Aut} (H),}$ куда ${ displaystyle operatorname {Aut} (H)}$ обозначает группу автоморфизмы из ${ displaystyle H.}$ Наконец, конструкция Гротендика, ${ displaystyle F rtimes { mathcal {C}} _ {G},}$ приводит к категории с одним объектом, которую снова можно рассматривать как группу, и в этом случае результирующая группа (изоморфна) полупрямой продукт ${ displaystyle H rtimes _ { varphi} G.}$