Гипотеза Гротендика – Каца о p-кривизне - Grothendieck–Katz p-curvature conjecture

В математика, то Гипотеза Гротендика – Каца о p-кривизне это локально-глобальный принцип за линейные обыкновенные дифференциальные уравнения, относится к дифференциальная теория Галуа и в широком смысле аналогично результату в Теорема плотности Чеботарева рассматривается как многочлен дело. Это предположение Александр Гротендик с конца 1960-х годов и, по-видимому, им ни в каком виде не публиковалась.

Общий случай остается нерешенным, несмотря на недавний прогресс; он был связан с геометрическими исследованиями, включающими алгебраические слоения.

Формулировка

В простейшем из возможных утверждений гипотеза может быть сформулирована в основном для векторной системы, записанной как

для вектора v размера п, и п×п матрица А из алгебраические функции с алгебраическое число коэффициенты. Вопрос в том, чтобы дать критерий того, когда полный набор решений алгебраических функций, что означает фундаментальную матрицу (т.е. п векторные решения, помещенные в блочная матрица ). Например, классический вопрос был для гипергеометрическое уравнение: когда у него есть пара алгебраических решений в терминах его параметров? Ответ классически известен как Список Шварца. В монодромия В терминах речь идет об отождествлении случаев конечной группы монодромии.

При переформулировке и переходе к более крупной системе существенным случаем являются рациональные функции в А и рациональные числовые коэффициенты. Тогда необходимым условием является то, что для почти все простые числа п, система определяется редукцией по модулю п также должен иметь полный набор алгебраических решений над конечным полем с п элементы.

Гипотеза Гротендика состоит в том, что эти необходимые условия почти для всех п, должно быть достаточно. Связь с п-искривление это мод п указанное условие такое же, как и указание п-искривление, образованное повторной операцией на А,[1] равно нулю; так что по-другому это сказать п-кривизна 0 почти для всех п влечет достаточное количество алгебраических решений исходного уравнения.

Формулировка Каца для группы Галуа

Николас Кац применил Категория таннакиана техники, чтобы показать, что это предположение по сути то же самое, что утверждение, что дифференциальная группа Галуа грамм (или, строго говоря, Алгебра Ли грамм из алгебраическая группа грамм, который в данном случае является Зариски закрытие группы монодромии) можно определить по модулю п информации, для некоторого широкого класса дифференциальных уравнений.[2]

Прогресс

Широкий класс случаев доказан Бенсон Фарб и Марк Кисин;[3] эти уравнения находятся на локально симметричное многообразие Икс при некоторых теоретико-групповых условиях. Эта работа основана на предыдущих результатах Каца для Уравнения Пикара – Фукса (в современном понимании Связь Гаусса – Манина ), как это усилено в таннакианском направлении Андре. Также применяется версия сверхжесткость в частности арифметические группы. Другой прогресс был достигнут в арифметических методах.[4]

История

Николас Кац связал некоторые дела с теория деформации в 1972 г. в статье, где была опубликована гипотеза.[5] С тех пор были опубликованы переформулировки. А q-аналог за разностные уравнения было предложено.[6]

Отвечая на выступление Кисина об этой работе на Коллоке Гротендик 2009 года,[7] Кац вкратце рассказал о происхождении гипотезы, исходя из личного опыта. Весной 1969 года Гротендик представил его на публичном обсуждении, но ничего не написал по этой теме. К этой идее его привели основополагающие интуиции в области кристаллические когомологии, в то время разрабатываемый его учеником Пьер Бертло. Каким-то образом желая приравнять понятие «нильпотентность» в теории связей к разделенная структура власти Методика, ставшая стандартом в теории кристаллов, Гротендик выдвинул гипотезу как побочный продукт.

Примечания

  1. ^ Даниэль Бертран, Семинар Бурбаки 750, 1991-2, раздел 5.
  2. ^ Кац, Николас М. (1982). «Гипотеза арифметической теории дифференциальных уравнений» (PDF). Бык. Soc. Математика. Франция. 110 (2): 203–239. Дои:10.24033 / bsmf.1960.
  3. ^ Фарб, Бенсон; Кисин, Марк (2009). «Жесткость, локально-симметричные многообразия и гипотеза Гротендика – Каца» (PDF). Замечания по Int Math Res. 2009 (22): 4159–4167. CiteSeerX  10.1.1.158.3198. Дои:10.1093 / imrn / rnp082.
  4. ^ Шамберт-Луар, Антуан (2002). "Théorèmes d'algébrisation en géométrie diophantienne". arXiv:математика / 0103192.
  5. ^ Кац, Николас М. (1972). «Алгебраические решения дифференциальных уравнений (p-кривизна и фильтрация Ходжа)». Изобретать. Математика. 18 (1–2): 1–118. Bibcode:1972InMat..18 .... 1K. Дои:10.1007 / BF01389714.
  6. ^ Ди Визио, Лючия (2002). «Арифметическая теория q-разностных уравнений». Изобретать. Математика. 150 (3): 517–578. arXiv:математика / 0104178. Bibcode:2002ИнМат.150..517Д. Дои:10.1007 / s00222-002-0241-z.
  7. ^ Запись видео.

Рекомендации

  • Николас М. Кац, Жесткие локальные системы, Глава 9.

дальнейшее чтение

  • Жан-Бенуа Бост, Алгебраические слои алгебраических слоений над числовыми полями, Publications Mathématiques de L'IHÉS, том 93, номер 1, сентябрь 2001 г.
  • Ив Андре, Sur la conjecture des p-Courbures de Grothendieck – Katz et un problème de Dwork, в Геометрические аспекты теории Дворка (2004), редакторы Алан Адольфсон, Франческо Бальдассарри, Пьер Бертело, Николас Кац, Франсуа Лозер
  • Ананд Пиллэй (2006), Дифференциальная алгебра и обобщения гипотезы Гротендика об арифметике линейных дифференциальных уравнений