Теорема Громова о группах полиномиального роста - Gromovs theorem on groups of polynomial growth

В геометрическая теория групп, Теорема Громова о группах полиномиального роста, впервые доказано Михаил Громов,^[1] характеризует конечно порожденный группы из многочлен рост, как и те группы, которые нильпотентный подгруппы конечных индекс.

Заявление

В скорость роста группы - это четко определенный понятие из асимптотический анализ. Сказать, что конечно порожденная группа имеет полиномиальный рост означает количество элементов длина (относительно симметричной образующей) не более п ограничена сверху многочлен функция п(п). В порядок роста - тогда наименьшая степень любой такой полиномиальной функции п.

А нильпотентная группа грамм это группа с нижний центральный ряд оканчиваясь в подгруппе идентичности.

Теорема Громова утверждает, что конечно порожденная группа имеет полиномиальный рост тогда и только тогда, когда она имеет нильпотентную подгруппу конечного индекса.

Темпы роста нильпотентных групп

Существует обширная литература по темпам роста, ведущая к теореме Громова. Более ранний результат Джозеф А. Вольф^[2] показал, что если грамм конечно порожденная нильпотентная группа, то группа имеет полиномиальный рост. Ив Гиварч^[3] и независимо Хайман Басс^[4] (с разными доказательствами) вычислил точный порядок полиномиального роста. Позволять грамм - конечно порожденная нильпотентная группа с нижним центральным рядом

${\displaystyle G=G_{1}\supseteq G_{2}\supseteq \cdots .}$

В частности, фактор-группа грамм_k/грамм_k+1 - конечно порожденная абелева группа.

В Формула Басса – Гиварка утверждает, что порядок полиномиального роста грамм является

${\displaystyle d(G)=\sum _{k\geq 1}k\operatorname {rank} (G_{k}/G_{k+1})}$

куда:

классифицировать обозначает ранг абелевой группы, т. е. наибольшее количество независимых элементов без кручения абелевой группы.

В частности, из теоремы Громова и формулы Басса – Гиварха следует, что порядок полиномиального роста конечно порожденной группы всегда либо целое, либо бесконечное (исключая, например, дробные степени).

Еще одно прекрасное приложение теоремы Громова и формулы Басса – Гиварха - это квазиизометрическая жесткость конечно порожденных абелевых групп: любая группа, квазиизометрический в конечно порожденную абелеву группу содержит свободную абелеву группу конечного индекса.

Доказательства теоремы Громова.

Для доказательства этой теоремы Громов ввел сходимость для метрических пространств. Эта конвергенция, теперь называемая Сходимость Громова – Хаусдорфа., в настоящее время широко используется в геометрии.

Относительно простое доказательство теоремы было найдено Брюс Кляйнер.^[5] Потом, Теренс Тао и Иегуда Шалом модифицировал доказательство Клейнера, чтобы сделать по существу элементарное доказательство, а также версию теоремы с явными оценками.^[6][7] Теорема Громова также следует из классификации приблизительные группы полученный Брейяром, Грином и Тао. Простое и лаконичное доказательство, основанное на функциональные аналитические методы дан кем-то Одзава.^[8]

Гипотеза о разрыве

Помимо теоремы Громова, можно спросить, существует ли пробел в спектре роста для конечно порожденной группы чуть выше полиномиального роста, отделяющий практически нильпотентные группы от других. Формально это означает, что существовала бы функция ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ такая, что конечно порожденная группа практически нильпотентна тогда и только тогда, когда ее функция роста является ${\displaystyle O(f(n))}$. Такая теорема была получена Шаломом и Тао с явной функцией ${\displaystyle n^{\log \log(n)^{c}}}$ для некоторых ${\displaystyle c>0}$. Единственные известные группы с функциями роста как суперполиномиальными, так и субэкспоненциальными (по существу, обобщение Группа Григорчука ) все имеют тип роста вида ${\displaystyle e^{n^{c}}}$, с ${\displaystyle 1/2<c<1}$. Исходя из этого, естественно спросить, существуют ли группы с типом роста как суперполиномиальным, так и с преобладанием ${\displaystyle e^{\sqrt {n}}}$. Это известно как Гипотеза разрыва.^[9]

Рекомендации

1. Громов, Михаил (1981). С приложением Жак Титс. «Группы полиномиального роста и расширяющиеся отображения». Inst. Hautes Études Sci. Publ. Математика. 53: 53–73. МИСТЕР  0623534.
2. Вольф, Джозеф А. (1968). «Рост конечно порожденных разрешимых групп и кривизна римановых многообразий». Журнал дифференциальной геометрии. 2 (4): 421–446. МИСТЕР  0248688.
3. Guivarc'h, Ив (1973). "Полиномиальные круассаны и периоды гармоничных функций". Бык. Soc. Математика. Франция (На французском). 101: 333–379. МИСТЕР  0369608.
4. Басс, Хайман (1972). «Степень полиномиального роста конечно порожденных нильпотентных групп». Труды Лондонского математического общества. Серия 3. 25 (4): 603–614. Дои:10.1112 / плмс / с3-25.4.603. МИСТЕР  0379672.
5. Кляйнер, Брюс (2010). «Новое доказательство теоремы Громова о группах полиномиального роста». Журнал Американского математического общества. 23 (3): 815–829. arXiv:0710.4593. Bibcode:2010JAMS ... 23..815K. Дои:10.1090 / S0894-0347-09-00658-4. МИСТЕР  2629989.
6. Тао, Теренс (18 февраля 2010 г.). «Доказательство теоремы Громова». Какие новости.
7. Шалом, Иегуда; Тао, Теренс (2010). «Конечная версия теоремы Громова о полиномиальном росте». Геом. Функц. Анальный. 20 (6): 1502–1547. arXiv:0910.4148. Дои:10.1007 / s00039-010-0096-1. МИСТЕР  2739001.
8. Одзава, Нарутака (2018). «Функциональное аналитическое доказательство теоремы Громова о полиномиальном росте». Научные Анналы высшей нормальной школы. 51 (3): 549–556. arXiv:1510.04223. Дои:10.24033 / asens.2360. МИСТЕР  3831031.
9. Григорчук, Ростислав И. (1991). «О росте в теории групп». Труды Международного конгресса математиков, Vol. I, II (Киото, 1990). Математика. Soc. Япония. С. 325–338.