Теорема Громова о компактности (топология) - Gromovs compactness theorem (topology)

За Теорема Громова о компактности в римановой геометрии см. эту статью.

в математический поле симплектическая топология, Теорема Громова о компактности утверждает, что последовательность псевдоголоморфный кривые в почти комплексное многообразие с равномерной энергетической границей должна иметь подпоследовательность, которая ограничивается псевдоголоморфной кривой, которая может иметь узлы или (конечное дерево) «пузырей». Пузырь - это голоморфная сфера, которая имеет поперечное пересечение с остальной частью кривой. Эта теорема и ее обобщения на проколотые псевдоголоморфные кривые лежат в основе результатов о компактности потоковых линий в Гомология Флоера и симплектическая теория поля.

Если сложные структуры на кривых в последовательности не меняются, могут возникать только пузыри; узлы могут возникать, только если сложные структуры в домене могут изменяться. Обычно энергетическая граница достигается путем рассмотрения симплектического многообразия с совместимой почти комплексной структурой в качестве цели и предположения, что кривые лежат в фиксированном классе гомологии в цели. Это связано с тем, что энергия такой псевдоголоморфной кривой задается интегралом целевой симплектической формы по кривой и, таким образом, вычислением класса когомологий этой симплектической формы на классе гомологии кривой. Конечность пузырькового дерева следует из (положительных) оценок снизу энергии, вносимой голоморфной сферой.

Рекомендации

• Громов, М. (1985). «Псевдоголоморфные кривые в симплектических многообразиях». Inventiones Mathematicae. 82 (2): 307–347. Дои:10.1007 / BF01388806.
• Буржуазный, Ф .; Элиашберг, Я .; Hofer, H .; Высоцкий, К .; Zehnder, E. (2003). «Компактность приводит к симплектической теории поля». Геометрия и топология. 7 (2): 799–888. arXiv:математика / 0308183. Дои:10.2140 / gt.2003.7.799.