Зеленая мера - Green measure

В математика - в частности, в стохастический анализ - в Зеленая мера это мера связан с It распространение. Есть связанный Зеленая формула представляя подходящим образом гладкие функции с точки зрения меры Грина и время первого выхода диффузии. Концепции названы в честь Британский математик Джордж Грин и являются обобщением классической Функция Грина и формулы Грина к стохастическому случаю с использованием Формула Дынкина.

Обозначение

Позволять Икс быть р^п-значная диффузия Itō, удовлетворяющая Itō стохастическое дифференциальное уравнение формы

${displaystyle mathrm {d} X_{t}=b(X_{t}),mathrm {d} t+sigma (X_{t}),mathrm {d} B_{t}.}$

Позволять п^Икс обозначить закон из Икс учитывая начальное состояние Икс₀ = Икс, и разреши E^Икс обозначать ожидание относительно п^Икс. Позволять L_Икс быть бесконечно малый генератор из Икс, т.е.

${displaystyle L_{X}=sum _{i}b_{i}{frac {partial }{partial x_{i}}}+{frac {1}{2}}sum _{i,j}{ig (}sigma sigma ^{ op }{ig )}_{i,j}{frac {partial ^{2}}{partial x_{i},partial x_{j}}}.}$

Позволять D ⊆ р^п быть открыто, ограниченный домен; позволять τ_D быть время первого выхода из Икс из D:

${displaystyle au _{D}:=inf{tgeq 0|X_{t}ot in D}.}$

Зеленая мера

Интуитивно мера Грина борелевского множества ЧАС (относительно точки Икс и домен D) - ожидаемое время, в течение которого Икс, начав в Икс, остается в ЧАС прежде, чем он покинет домен D. Это Зеленая мера из Икс относительно D в Икс, обозначенный грамм(Икс, ·), Определена для борелевских множеств ЧАС ⊆ р^п к

${displaystyle G(x,H)=mathbf {E} ^{x}left[int _{0}^{ au _{D}}chi _{H}(X_{s}),mathrm {d} sight],}$

или для ограниченных непрерывных функций ж : D → р к

${displaystyle int _{D}f(y),G(x,mathrm {d} y)=mathbf {E} ^{x}left[int _{0}^{ au _{D}}f(X_{s}),mathrm {d} sight]}$

Название «Зеленая мера» происходит от того, что если Икс является Броуновское движение, тогда

${displaystyle G(x,H)=int _{H}G(x,y),mathrm {d} y,}$

куда грамм(Икс, у) - функция Грина оператора L_Икс (что в случае броуновского движения равно ½Δ, где Δ - Оператор Лапласа ) в домене D.

Формула Грина

Предположим, что E^Икс[τ_D] <+ ∞ для всех Икс ∈ D, и разреши ж : р^п → р быть одним из класс гладкости C² с компактная опора. потом

${displaystyle f(x)=mathbf {E} ^{x}{ig [}f{ig (}X_{ au _{D}}{ig )}{ig ]}-int _{D}L_{X}f(y),G(x,mathrm {d} y).}$

В частности, для C² функции ж при поддержке компактно встроенный в D,

${displaystyle f(x)=-int _{D}L_{X}f(y),G(x,mathrm {d} y).}$

Доказательство формулы Грина представляет собой простое применение формулы Дынкина и определения меры Грина:

${displaystyle mathbf {E} ^{x}{ig [}f{ig (}X_{ au _{D}}{ig )}{ig ]}}$

${displaystyle =f(x)+mathbf {E} ^{x}left[int _{0}^{ au _{D}}L_{X}f(X_{s}),mathrm {d} sight]}$

${displaystyle =f(x)+int _{D}L_{X}f(y),G(x,mathrm {d} y).}$

Рекомендации

• Эксендал, Бернт К. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями (Шестое изд.). Берлин: Springer. ISBN  3-540-04758-1. МИСТЕР2001996 (См. Раздел 9)