Код гоппы - Goppa code

В математика, алгебро-геометрический код (AG-код), иначе известный как Код гоппы, является общим типом линейный код построенный с использованием алгебраическая кривая ${\displaystyle X}$ через конечное поле ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$. Такие коды были введены Валерий Денисович Гоппа. В частных случаях у них могут быть интересные экстремальные свойства. Их не следует путать с двоичные коды Гоппа которые используются, например, в Криптосистема Мак-Элиса.

Строительство

Традиционно AG-код строится из неособый проективная кривая Икс над конечным полем ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ используя ряд фиксированных различных ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$-рациональные точки на ${\displaystyle \mathbf {X} }$:

${\displaystyle {\mathcal {P}}:=\{P_{1},\ldots ,P_{n}\}\subset \mathbf {X} (\mathbb {F} _{q}).}$

Позволять ${\displaystyle G}$ быть делитель на Икс, с поддерживать который состоит только из рациональных точек и не пересекается с ${\displaystyle P_{i}}$. Таким образом ${\displaystyle {\mathcal {P}}\cap \operatorname {supp} (G)=\varnothing }$

Посредством Теорема Римана – Роха, существует единственное конечномерное векторное пространство, ${\displaystyle L(G)}$, относительно дивизора ${\displaystyle G}$. Векторное пространство является подпространством функциональное поле из Икс.

Существует два основных типа AG-кодов, которые можно построить, используя приведенную выше информацию.

Код функции

Код функции (или двойной код ) относительно кривой Икс, делитель ${\displaystyle G}$ и набор ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ строится следующим образом.

Позволять ${\displaystyle D=P_{1}+\cdots +P_{n}}$, быть делителем, с ${\displaystyle P_{i}}$ определено, как указано выше. Обычно мы обозначаем код Гоппы как C(D,грамм). Теперь мы знаем все, что нам нужно для определения кода Goppa:

${\displaystyle C(D,G)=\left\{\left(f(P_{1}),\ldots ,f(P_{n})\right)\ :\ f\in L(G)\right\}\subset \mathbb {F} _{q}^{n}}$

На фиксированную основу ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}}$ за L(грамм) над ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$, соответствующий код Гоппа в ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{n}}$ охватывает ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ векторами

${\displaystyle \left(f_{i}(P_{1}),\ldots ,f_{i}(P_{n})\right)}$

Следовательно,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{1}(P_{1})&\cdots &f_{1}(P_{n})\\\vdots &&\vdots \\f_{k}(P_{1})&\cdots &f_{k}(P_{n})\end{bmatrix}}}$

порождающая матрица для ${\displaystyle C(D,G).}$

Эквивалентно это определяется как изображение

${\displaystyle {\begin{cases}\alpha :L(G)\to \mathbb {F} ^{n}\\f\mapsto (f(P_{1}),\ldots ,f(P_{n}))\end{cases}}}$

Ниже показано, как параметры кода соотносятся с классическими параметрами линейные системы делителей D на C (ср. Теорема Римана – Роха для большего). Обозначение ℓ(D) означает размерность L(D).

Предложение А. Измерение кода Гоппа ${\displaystyle C(D,G)}$ является ${\displaystyle k=\ell (G)-\ell (G-D).}$

Доказательство. С ${\displaystyle C(D,G)\cong L(G)/\ker(\alpha ),}$ мы должны показать это

${\displaystyle \ker(\alpha )=L(G-D).}$

Позволять ${\displaystyle f\in \ker(\alpha )}$ тогда ${\displaystyle f(P_{1})=\cdots =f(P_{n})=0}$ так ${\displaystyle \operatorname {div} (f)>D}$. Таким образом, ${\displaystyle f\in L(G-D).}$ Наоборот, предположим ${\displaystyle f\in L(G-D),}$ тогда ${\displaystyle \operatorname {div} (f)>D}$ поскольку

${\displaystyle P_{i}<G,\quad i=1,\ldots ,n.}$

(грамм не «исправляет» проблемы с ${\displaystyle -D}$, так ж должен сделать это вместо этого.) Отсюда следует, что ${\displaystyle f(P_{1})=\cdots =f(P_{n})=0.}$

Предложение Б. Минимальное расстояние между двумя кодовыми словами равно ${\displaystyle d\geqslant n-\deg(G).}$

Доказательство. Предположим, что Вес Хэмминга из ${\displaystyle \alpha (f)}$ является d. Это означает, что для ${\displaystyle n-d}$ индексы ${\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{n-d}}$ у нас есть${\displaystyle f(P_{i_{k}})=0}$ за ${\displaystyle k\in \{1,\ldots ,n-d\}.}$ потом ${\displaystyle f\in L(G-P_{i_{1}}-\cdots -P_{i_{n-d}})}$, и

${\displaystyle \operatorname {div} (f)+G-P_{i_{1}}-\cdots -P_{i_{n-d}}>0.}$

Принимая степени с обеих сторон и отмечая, что

${\displaystyle \deg(\operatorname {div} (f))=0,}$

мы получили

${\displaystyle \deg(G)-(n-d)\geqslant 0.}$

так

${\displaystyle d\geq n-\deg(G).}$

Код остатка

Код остатка может быть определен как двойник функционального кода или как остаток некоторых функций в ${\displaystyle P_{i}}$с.

Рекомендации

• Ки Уан Чанг, Коды Гоппы, Декабрь 2004 г., математический факультет Университета штата Айова.

внешняя ссылка

• Бакалаврская диссертация по алгебро-геометрической теории кодирования
• Коды Гоппы Ки Уан Чанг