Goldman домен - Goldman domain

В математика, а Домен Goldman или же G-домен является область целостности А чей поле дробей является конечно порожденным алгебра над А.^[1] Они названы в честь Оскар Гольдман.

An исключение (т.е. промежуточное кольцо, лежащее между кольцом и его полем дробей) области Гольдмана снова является областью Гольдмана. Существует область Гольдмана, в которой все ненулевые первичные идеалы максимальны, хотя первичных идеалов бесконечно много.^[2]

An идеальный я в коммутативное кольцо А называется Идеал Гольдмана если частное А/я является доменом Goldman. Таким образом, идеал Гольдмана основной, но не обязательно максимальный. Фактически коммутативное кольцо - это Кольцо Jacobson тогда и только тогда, когда каждый идеал Гольдмана в нем максимален.

Понятие идеала Гольдмана можно использовать для несколько более точной характеристики радикал идеала: радикал идеалая является пересечением всех идеалов Гольдмана, содержащихя.

Альтернативное определение

An область целостности ${ displaystyle D}$ это G-домен если и только если:

Его поле частных - это простое расширение из ${ displaystyle D}$ ^{[требуется разъяснение ]}
Его поле частных - это конечное расширение из ${ displaystyle D}$ ^{[сомнительный – обсуждать]} (Обратите внимание, это означало бы, что поле частных является целым над D и, следовательно, D имеет нулевую размерность Крулля, то есть поле.)
Пересечение его ненулевого главные идеалы (не путать с нильрадикал ) отличен от нуля
Есть ненулевой элемент ${ displaystyle u}$ такое, что для любого ненулевого идеала ${ displaystyle I}$ , ${ displaystyle u ^ {n} in I}$ для некоторых ${ displaystyle n}$ .^[3]

А G-идеал определяется как идеал ${ displaystyle I subset R}$ такой, что ${ displaystyle R / I}$ является G-областью. Поскольку факторное кольцо является областью целостности тогда и только тогда, когда кольцо факторизуется по первичному идеалу, каждый G-идеал также является первичным идеалом. G-идеалы можно использовать как изысканный набор первичных идеалов в следующем смысле: Радикальный можно охарактеризовать как пересечение всех первичных идеалов, содержащих идеал, и фактически мы все равно получим радикал, даже если возьмем пересечение по G-идеалам.^[4]

Каждый максимальный идеал является G-идеалом, так как фактор по максимальному идеалу является полем, а поле тривиально является G-областью. Следовательно, максимальные идеалы - это G-идеалы, а G-идеалы - простые идеалы. G-идеалы - единственные максимальные идеалы в Кольцо Jacobson, и фактически это эквивалентная характеристика кольца Джекобсона: кольцо является кольцом Джекобсона, когда все G-идеалы являются максимальными идеалами. Это приводит к упрощенному доказательству Nullstellensatz.^[5]

Известно, что данные ${ Displaystyle T supset R}$ , кольцевое расширение G-области, ${ displaystyle T}$ алгебраичен над ${ displaystyle R}$ тогда и только тогда, когда каждое расширение кольца между ${ displaystyle T}$ и ${ displaystyle R}$ является G-областью.^[6]

А Нётерианский домен является G-областью тогда и только тогда, когда ее ранг не превосходит единицы и имеет только конечное число максимальных идеалов (или, что то же самое, простых идеалов).^[7]^{[сомнительный – обсуждать]}

Примечания

^ Области / идеалы Гольдмана называются G-областями / идеалами в (Каплански, 1974).
^ Капланского, с. 13
^ Каплански, Ирвинг. Коммутативная алгебра. Полигональное издательство, 1974, с. 12, 13.
^ Каплански, Ирвинг. Коммутативная алгебра. Полигональное издательство, 1974, с. 16, 17.
^ Каплански, Ирвинг. Коммутативная алгебра. Полигональное издательство, 1974, с. 19.
^ Доббс, Дэвид. «Пары G-доменов». Тенденции в исследованиях коммутативной алгебры, издательство Nova Science, 2003, стр. 71–75.
^ Каплански, Ирвинг. Коммутативная алгебра. Полигональное издательство, 1974, с. 19.

Goldman домен - Goldman domain

Альтернативное определение

Примечания

Рекомендации