Теорема Гольдбаха – Эйлера - Goldbach–Euler theorem

Эта статья про одну математическую серию. По поводу теоремы Гольдбаха о числах Ферма см. Число Ферма § Основные свойства.

В математика, то Теорема Гольдбаха – Эйлера (также известный как Теорема Гольдбаха), утверждает, что сумма 1 / (п - 1) по множеству совершенные силы п, исключая 1 и исключая повторения, сходится к 1:

${\displaystyle \sum _{p}^{\infty }{\frac {1}{p-1}}={{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{31}}}+\cdots =1.}$

Этот результат был впервые опубликован в Эйлер бумага 1737 г. "Vari наблюдения около серии infinitasЭйлер приписал результат письму (теперь утерянному) от Гольдбах.

Доказательство

Первоначальное доказательство Гольдбаха Эйлеру включало приписывание константе гармонический ряд:${\displaystyle \textstyle x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$, который расходящийся. Такое доказательство не считается строгим по современным стандартам. Существует сильное сходство между методом отсеивания сил, использованных в его доказательстве, и методом метод факторизации, используемый для вывода формулы произведения Эйлера для дзета-функции Римана.

Пусть x определяется как

${\displaystyle x=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\cdots }$

Поскольку сумма, обратная каждой степени двойки, равна ${\displaystyle \textstyle 1={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots }$, вычитание членов со степенями двойки из x дает

${\displaystyle x-1=1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{11}}+\cdots }$

Повторите процесс с членами с тремя степенями: ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{81}}+\cdots }$

${\displaystyle x-1-{\frac {1}{2}}=1+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{12}}+\cdots }$

В приведенной выше сумме теперь отсутствуют все члены со степенью двойки и тройки. Продолжайте, удаляя члены со степенями 5, 6 и так далее, пока правая часть не исчерпается до значения 1. В конечном итоге мы получим уравнение

${\displaystyle x-1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{9}}-\cdots =1}$

который мы переставляем в

${\displaystyle x-1=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{9}}+\cdots }$

где знаменатели состоят из всех положительных целых чисел, не являющихся степенями минус один. Вычитая предыдущее уравнение из определения x, данного выше, мы получаем

${\displaystyle 1={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{31}}+\cdots }$

где знаменатели теперь состоят только из абсолютных степеней минус один.

Несмотря на недостаток математической строгости, доказательство Гольдбаха дает достаточно интуитивный аргумент в пользу истинности теоремы. Строгие доказательства требуют правильного и более внимательного отношения к расходящимся членам гармонического ряда. В других доказательствах используется тот факт, что сумма 1 /п по набору совершенных сил п, исключая 1, но включая повторения, сходится к 1, демонстрируя эквивалентность:

${\displaystyle \sum _{p}^{\infty }{\frac {1}{p-1}}=\sum _{m=2}^{\infty }\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{n}}}=1.}$

Обобщенный ряд

Обобщенный ряд Эйлера-Гольдбаха с ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$, определяется как:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{p}^{\infty }{\frac {1}{p^{s}-1}}.\end{aligned}}}$

Для Re${\displaystyle (s)>1}$ это можно выразить как: ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{p}^{\infty }{\frac {1}{p^{s}-1}}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}-1}}-(\zeta (s)-1)\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle \zeta (s)}$ это Дзета-функция Римана. Используя Телескопическая серия особый случай ${\displaystyle s=2}$ можно показать равным ${\displaystyle 7/4-\pi ^{2}/6}$.

Смотрите также

• Гипотеза Гольдбаха
• Список сумм обратных величин

Рекомендации

• Виадер, Пелегри; Бибилони, Луис; Paradís, Jaume (2006). «О серии Гольдбаха и Эйлера» (PDF). Американский математический ежемесячный журнал. 113 (3): 206–220. Дои:10.2307/27641889. JSTOR  27641889..
• Грэм, Рональд; Дональд Кнут; Орен Паташник (1988). Конкретная математика. Эддисон-Уэсли. ISBN  0-201-14236-8.

1. Мунхаммар, Иоаким (2020). «Дзета-функция Римана как сумма геометрических рядов». Математический вестник. 104 (561): 527–530. Дои:10.1017 / mag.2020.110.