Теорема Годдарда-Торна - Goddard–Thorn theorem
 | Эта статья требует внимания специалиста по физике. Конкретная проблема: Слишком сложный жаргон требует объяснения. Технические детали должны быть объяснены позже. (Июнь 2017 г.) |
 | Эта статья включает Список ссылок, связанное чтение или внешняя ссылка, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты. (Ноябрь 2020) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) |
В математика, и, в частности, в математической основе теория струн, то Теорема Годдарда – Торна (также называемый теорема без привидений) - теорема, описывающая свойства функтор что квантует бозонные струны. Он назван в честь Питер Годдард и Чарльз Торн.
Название «теорема без привидений» происходит от того факта, что в первоначальной формулировке теоремы естественное внутренний продукт индуцированный на выходном векторном пространстве положительно определен. Таким образом, не было так называемых призраки (Призраки Паули-Вилларса ), либо векторы отрицательной нормы. Название «теорема об отсутствии призраков» также является игрой слов на непроходимая теорема квантовой механики.
Формализм
Есть два естественно изоморфных функтора, которые обычно используются для квантования бозонных струн. В обоих случаях начинается с представления положительной энергии из Алгебра Вирасоро центрального заряда 26, снабженного инвариантными Вирасоро билинейными формами, и заканчивается векторными пространствами, снабженными билинейными формами. Здесь «Вирасоро-инвариант» означает Lп примыкает к L−п для всех целых чисел п.
Исторически первым функтором является «старое каноническое квантование», и он задается путем деления примарного подпространства веса 1 на радикал билинейной формы. Здесь «первичное подпространство» - это множество векторов, аннулируемых Lп для всех строго положительных п, а «вес 1» означает L0 действует от личности. Второй, естественно изоморфный функтор, задается БРСТ-когомологиями степени 1. Более старые трактовки БРСТ-когомологий часто имеют сдвиг в степени из-за изменения в выборе БРСТ-заряда, поэтому можно увидеть когомологии степени -1/2 в статьях и текстах до 1995 года. Доказательство естественной изоморфности функторов может быть найдено в Разделе 4.4 Полчинского Теория струн текст.
Теорема Годдарда – Торна сводится к утверждению, что этот функтор квантования более или менее отменяет сложение двух свободных бозонов, как предположил Лавлейс в 1971 году. Точное утверждение Лавлейса состояло в том, что в критической размерности 26 тождества Уорда типа Вирасоро сокращают два полных набора осцилляторов. Математически это следующее утверждение:
Позволять V - унитаризуемое представление Вирасоро центрального заряда 24 с инвариантной Вирасоро билинейной формой, и пусть π1,1λ - неприводимый модуль р1,1 Алгебра Ли Гейзенберга, присоединенная к ненулевому вектору λ в р1,1. Тогда образ V ⊗ π1,1λ при квантовании канонически изоморфно подпространству V, на котором L0 действует по 1- (λ, λ).
Свойство отсутствия призраков следует немедленно, поскольку положительно определенная эрмитова структура V передается в изображение при квантовании.
Приложения
Функторы квантования бозонной струны, описанные здесь, могут применяться к любой конформной вершинной алгебре с центральным зарядом 26, и результат, естественно, имеет структуру алгебры Ли. Затем теорему Годдарда – Торна можно применить для конкретного описания алгебры Ли в терминах алгебры входных вершин.
Пожалуй, самый яркий пример этого приложения - Ричард Борчердс доказательство Чудовищный самогон гипотеза, где унитаризуемое представление Вирасоро является Вершинная алгебра монстров (также называемый «модулем самогона»), построенный Френкелем, Леповски и Меурманом. Взяв тензорное произведение с вершинной алгеброй, присоединенной к гиперболической решетке ранга 2, и применив квантование, получаем монстр алгебра Ли, который является обобщенная алгебра Каца – Муди градуируется решеткой. Используя теорему Годдарда – Торна, Борчердс показал, что однородные части алгебры Ли естественным образом изоморфны градуированным частям модуля Moonshine как представления группа монстров.
Более ранние приложения включают определение Френкелем верхних оценок кратностей корней алгебры Ли Каца-Муди, диаграмма Дынкина которой является Решетка пиявки, и конструкция Борчердса обобщенной алгебры Ли Каца-Муди, которая содержит алгебру Ли Френкеля и насыщает 1 / ∆-границу Френкеля.
Рекомендации
- Борчердс, Ричард Э (1990). "Алгебра Ли чудовищ". Успехи в математике. Elsevier BV. 83 (1): 30–47. Дои:10.1016 / 0001-8708 (90) 90067-в.. ISSN 0001-8708.
- Борчердс, Ричард Э. (1992). "Чудовищный самогон и чудовищные супералгебры Ли" (PDF). Inventiones Mathematicae. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 109 (1): 405–444. Дои:10.1007 / bf01232032. ISSN 0020-9910. S2CID 16145482.
- И. Френкель, Представления алгебр Каца-Муди и модели двойственного резонанса Приложения теории групп в теоретической физике, Лект. Appl. Математика. 21 A.M.S. (1985) 325–353.
- Goddard, P .; Торн, Си Би (1972). «Совместимость двойного померона с унитарностью и отсутствием духов в модели двойного резонанса». Письма по физике B. Elsevier BV. 40 (2): 235–238. Дои:10.1016/0370-2693(72)90420-0. ISSN 0370-2693.
- Лавлейс, К. (1971). «Форм-факторы Померона и двойные разрезы Редже». Письма по физике B. Elsevier BV. 34 (6): 500–506. Дои:10.1016/0370-2693(71)90665-4. ISSN 0370-2693.
- Полчинский, Джозеф (1998). Теория струн. Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки. 95. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. 11039–40. Дои:10.1017 / cbo9780511816079. ISBN 978-0-511-81607-9. ЧВК 33894. PMID 9736684.