Геометрическая конечность - Geometric finiteness

В геометрия, группа изометрии из гиперболическое пространство называется геометрически конечный если он хорошо себя ведет фундаментальная область. Гиперболический многообразие называется геометрически конечный если его можно описать геометрически конечными группы.

Геометрически конечные многогранники

А выпуклый многогранник C в гиперболическом пространстве называется геометрически конечным, если его замыкание C в конформной компактификации гиперболического пространства обладает следующим свойством:

• Для каждой точки Икс в C, есть район U так что все лица C встреча U также пройти через Икс (Рэтклифф 1994, 12.4).

Например, каждый многогранник с конечным числом граней геометрически конечна. В гиперболическом пространстве размерности не более 2 каждый геометрически конечный многогранник имеет конечное число сторон, но существуют геометрически конечные многогранники размерности 3 и выше с бесконечным числом сторон. Например, в евклидовом пространстве р^п измерения п≥2 есть многогранник п с бесконечным количеством сторон. Модель верхней полуплоскости п+1 мерное гиперболическое пространство в р^п+1 проекты р^п, и прообраз п под этой проекцией - геометрически конечный многогранник с бесконечным числом сторон.

Геометрически конечный многогранник имеет лишь конечное число точек возврата, и все стороны, кроме конечного числа, пересекаются с одним из точек возврата.

Геометрически конечные группы

Дискретная группа грамм изометрий гиперболического пространства называется геометрически конечный если у него есть фундаментальный домен C выпуклый, геометрически конечный и точный (каждая грань является пересечением C и gC для некоторых грамм ∈ грамм) (Рэтклифф 1994, 12.4).

В гиперболических пространствах размерности не больше 3 каждый точный выпуклый фундаментальный многогранник геометрически конечной группы имеет только конечное число сторон, но в размерностях 4 и выше есть примеры с бесконечным числом сторон (Рэтклифф 1994, теорема 12.4.6).

В гиперболических пространствах размерности не выше 2 конечно порожденные дискретные группы геометрически конечны, но Гринберг (1966) показал, что существуют примеры конечно порожденных дискретных групп размерности 3, которые не являются геометрически конечными.

Геометрически конечные многообразия

Гиперболическое многообразие называется геометрически конечный если он имеет конечное число компонентов, каждая из которых является фактором гиперболического пространства по геометрически конечной дискретной группе изометрий (Рэтклифф 1994, 12.7).

Рекомендации

• Гринберг, Л. (1966), "Основные многогранники для клейновых групп", Анналы математики, Вторая серия, 84: 433–441, Дои:10.2307/1970456, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970456, МИСТЕР  0200446
• Рэтклифф, Джон Г. (1994), Основы гиперболических многообразий, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94348-0