Гауссовы полярные координаты - Gaussian polar coordinates

В теории лоренцевых многообразий сферически симметричное пространство-время допустим семейство вложенных круглых сфер. В каждой из этих сфер каждая точка может быть перенесена в любую другую соответствующим поворотом вокруг центра симметрии.

Есть несколько различных типов координатных диаграмм, которые адаптированный к этому семейству вложенных сфер, каждая из которых вносит свой вид искажения. Самая известная альтернатива - это Диаграмма Шварцшильда, который правильно представляет расстояния внутри каждой сферы, но (в целом) искажает радиальные расстояния и углы. Другой популярный выбор - изотропная диаграмма, который правильно представляет углы (но в целом искажает как радиальные, так и поперечные расстояния). Третий вариант - это Гауссова полярная карта, который правильно представляет радиальные расстояния, но искажает поперечные расстояния и углы. Возможны и другие графики; статья о сферически симметричное пространство-время описывает систему координат с интуитивно привлекательными функциями для изучения падающего вещества. Во всех случаях вложенные геометрические сферы представлены координатными сферами, поэтому можно сказать, что их округлость правильно представлено.

Определение

В гауссовой полярной карте (в статическом сферически-симметричном пространстве-времени) метрика (он же линейный элемент ) принимает вид

${\displaystyle g=-a(r)^{2}\,dt^{2}+dr^{2}+b(r)^{2}\,\left(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\phi ^{2}\right),}$

${\displaystyle -\infty <t<\infty ,\,r_{0}<r<r_{1},\,0<\theta <\pi ,\,-\pi <\phi <\pi }$

В зависимости от контекста может быть уместным рассматривать ${\displaystyle a\,b}$ как неопределенные функции радиальной координаты ${\displaystyle r}$. В качестве альтернативы мы можем подключить определенные функции (возможно, в зависимости от некоторых параметров), чтобы получить изотропную координатную карту в конкретном лоренцевом пространстве-времени.

Приложения

Карты Гаусса часто менее удобны, чем диаграммы Шварцшильда или изотропные диаграммы. Однако время от времени они находили применение в теории статических сферически-симметричных совершенных жидкостей.

Смотрите также

• Статическое пространство-время
• Статические сферически симметричные идеальные жидкости
• Координаты Шварцшильда
• Изотропные координаты
• Поля кадра в общей теории относительности для получения дополнительной информации о полях фреймов и полях coframe.