Маятник Furuta - Furuta pendulum

Вращающийся перевернутый маятник: классический педагогический пример применения теории управления

В Маятник Furuta, или вращающийся перевернутый маятник, состоит из ведомого плеча, который вращается в горизонтальной плоскости, и маятник прикреплен к той руке, которая может свободно вращаться в вертикальной плоскости. Он был изобретен в 1992 году в г. Токийский технологический институт Кацухиса Фурута^[1]^[2]^[3]^[4] и его коллеги. Это пример интересующего нас сложного нелинейного осциллятора. теория систем управления. Маятник невылеченный и чрезвычайно нелинейный из-за гравитационных сил и связи, возникающей из-за Кориолис и центростремительный силы. С тех пор в десятках, а возможно, и в сотнях статей и диссертаций использовалась система для демонстрации линейных и нелинейных законов управления.^[5]^[6]^[7] Система также была предметом двух текстов.^[8]^[9]

Уравнения движения

Несмотря на большое внимание, уделяемое системе, очень немногие публикации успешно извлекают (или используют) полную динамику. Многие авторы^[3]^[8] учли только инерцию вращения маятника для одной главной оси (или вообще пренебрегли ею^[9]). Другими словами, тензор инерции имеет только один ненулевой элемент (или его нет), а остальные два диагональных члена равны нулю. Можно найти систему маятника, в которой момент инерции в одной из трех главных осей приблизительно равен нулю, но не двум.

Несколько авторов^[2]^[4]^[6]^[10]^[11]^[12] рассмотрели тонкие симметричные маятники, в которых моменты инерции для двух главных осей равны, а оставшийся момент инерции равен нулю. Из десятков публикаций, рассмотренных для этой вики, только одна статья конференции^[13] и журнальная бумага^[14] было обнаружено, что они включают все три основных инерционных члена маятника. Обе статьи использовали Лагранжева формулировка но каждый содержал незначительные ошибки (предположительно типографские).

Представленные здесь уравнения движения являются выдержкой из бумага^[15] на динамике маятника Фурута, полученной на Университет Аделаиды.

Определения

Рис. 1: Схема системы с одним вращающимся перевернутым маятником.

Рассмотрим вращающийся перевернутый маятник, установленный на двигателе постоянного тока, как показано на рис. 1. Двигатель постоянного тока используется для приложения крутящего момента. ${displaystyle au _ {1}}$ к рычагу 1. Связь между рычагом 1 и рычагом 2 не приводится в действие, но может вращаться. Две руки имеют длину ${displaystyle L_ {1}}$ и ${displaystyle L_ {2}}$ . У оружия есть масса ${displaystyle m_ {1}}$ и ${displaystyle m_ {2}}$ которые расположены в ${displaystyle l_ {1}}$ и ${displaystyle l_ {2}}$ соответственно, которые являются длинами от точки вращения рычага до его центра масс. Плечи имеют тензоры инерции. ${displaystyle {oldsymbol {J}} _ {1}}$ и ${displaystyle {oldsymbol {J}} _ {2}}$ (относительно центра масс плеч соответственно). Каждое вращательное соединение имеет вязкое демпфирование с коэффициентами демпфирования. ${displaystyle b_ {1}}$ и ${displaystyle b_ {2}}$ , куда ${displaystyle b_ {1}}$ это демпфирование, обеспечиваемое подшипниками двигателя и ${displaystyle b_ {2}}$ это демпфирование, возникающее из-за шарнирного соединения между рычагом 1 и рычагом 2.

Правая система координат использовалась для определения входов, состояний и декартовых систем координат 1 и 2. Координатные оси рычага 1 и рычага 2 являются главными осями, так что тензоры инерции диагональны.

Угловой поворот рычага 1, ${displaystyle heta _ {1}}$ , измеряется в горизонтальной плоскости, где направление против часовой стрелки (если смотреть сверху) положительно. Угловой поворот рычага 2, ${displaystyle heta _ {2}}$ , измеряется в вертикальной плоскости, где направление против часовой стрелки (если смотреть спереди) положительно. Когда рука опущена в устойчивом положении равновесия ${displaystyle heta _ {2} = 0}$ .

Крутящий момент серводвигателя применяется к рычагу 1, ${displaystyle au _ {1}}$ , положительна в направлении против часовой стрелки (если смотреть сверху). Возмущающий момент, ${displaystyle au _ {2}}$ , испытывает руку 2, где направление против часовой стрелки (если смотреть спереди) является положительным.

Предположения

Перед выводом динамики системы необходимо сделать ряд предположений. Это:

Предполагается, что вал двигателя и рычаг 1 жестко соединены и имеют неограниченную жесткость.
Предполагается, что плечо 2 бесконечно жесткое.
Оси координат Arm1 и Arm 2 являются главными осями, так что тензоры инерции диагональны.
Предполагается, что инерцией ротора двигателя можно пренебречь. Однако этот член можно легко добавить к моменту инерции плеча 1.
Учитывается только вязкое демпфирование. Все другие формы демпфирования (например, кулоновские) не учитывались, однако добавить это к окончательной управляющей DE несложно.

Нелинейные уравнения движения

Нелинейные уравнения движения имеют вид^[15]

${displaystyle {ddot {heta}} _ {1} left (J_ {1zz} + m_ {1} l_ {1} ^ {2} + m_ {2} L_ {1} ^ {2} + (J_ {2yy}) + m_ {2} l_ {2} ^ {2}) sin ^ {2} (heta _ {2}) + J_ {2xx} cos ^ {2} (heta _ {2}) ight) + {ddot {heta }} _ {2} m_ {2} L_ {1} l_ {2} cos (heta _ {2}) - m_ {2} L_ {1} l_ {2} sin (heta _ {2}) {точка { heta}} _ {2} ^ {2} + {dot {heta}} _ {1} {dot {heta}} _ {2} sin (2 heta _ {2}) (m_ {2} l_ {2} ^ {2} + J_ {2yy} -J_ {2xx}) + b_ {1} {точка {heta}} _ {1} = au _ {1}}$

и

${displaystyle {ddot {heta}} _ {1} m_ {2} L_ {1} l_ {2} cos (heta _ {2}) + {ddot {heta}} _ {2} (m_ {2} l_ { 2} ^ {2} + J_ {2zz}) + 1/2 {точка {heta}} _ {1} ^ {2} sin (2 heta _ {2}) (- m_ {2} l_ {2} ^ {2} -J_ {2yy} + J_ {2xx}) + b_ {2} {dot {heta}} _ {2} + gm_ {2} l_ {2} sin (heta _ {2}) = au _ { 2}}$

Упрощения

Большинство маятников Furuta, как правило, имеют длинные тонкие плечи, так что момент инерции вдоль оси плеч пренебрежимо мал. Кроме того, большинство рычагов имеют симметрию вращения, так что моменты инерции в двух главных осях равны. Таким образом, тензоры инерции можно аппроксимировать следующим образом:

${displaystyle {oldsymbol {J}} _ {1} = diag [J_ {1xx}, J_ {1yy}, J_ {1zz}] = diag [0, J_ {1}, J_ {1}]}$

${displaystyle {oldsymbol {J}} _ {2} = diag [J_ {2xx}, J_ {2yy}, J_ {2zz}] = diag [0, J_ {2}, J_ {2}]}$

Дальнейшие упрощения можно получить, сделав следующие замены. Общий момент инерции плеча 1 относительно точки поворота (с использованием теоремы параллельной оси) равен ${displaystyle {шляпа {J_ {1}}} = J_ {1} + m_ {1} l_ {1} ^ {2}}$ . Полный момент инерции рукава 2 относительно его точки поворота равен ${displaystyle {hat {J_ {2}}} = J_ {2} + m_ {2} l_ {2} ^ {2}}$ . Наконец, определите общий момент инерции, который испытывает моторротор, когда маятник (плечо 2) находится в положении равновесия (свисает вертикально вниз), ${displaystyle {hat {J_ {0}}} = {hat {J}} _ {1} + m_ {2} L_ {1} ^ {2} = J_ {1} + m_ {1} l_ {1} ^ {2} + m_ {2} L_ {1} ^ {2}}$ .

Подстановка предыдущих определений в управляющие DE дает более компактную форму

${displaystyle {ddot {heta}} _ {1} left ({hat {J_ {0}}} + {hat {J_ {2}}} sin ^ {2} (heta _ {2}) ight) + {ddot) {heta}} _ {2} m_ {2} L_ {1} l_ {2} cos (heta _ {2}) - m_ {2} L_ {1} l_ {2} sin (heta _ {2}) { dot {heta}} _ {2} ^ {2} + {dot {heta}} _ {1} {dot {heta}} _ {2} sin (2 heta _ {2}) {hat {J_ {2} }} + b_ {1} {точка {heta}} _ {1} = au _ {1}}$

и

${displaystyle {ddot {heta}} _ {1} m_ {2} L_ {1} l_ {2} cos (heta _ {2}) + {ddot {heta}} _ {2} {hat {J_ {2} }} - 1/2 {точка {heta}} _ {1} ^ {2} sin (2 heta _ {2}) {hat {J_ {2}}} + b_ {2} {dot {heta}} _ {2} + gm_ {2} l_ {2} sin (heta _ {2}) = au _ {2}}$

Смотрите также

дальнейшее чтение

внешняя ссылка

[1] Фурута, К., Ямакита, М. и Кобаяши, С. (1992) «Подвижное управление перевернутым маятником с использованием обратной связи по псевдосостояниям», Журнал системной инженерии, 206 (6), 263-269.

[Xuetal2001-2] а ^б Сюй, Ю., Ивасе, М. и Фурута, К. (2001) «Оптимальное по времени управление раскачиванием одиночного маятника», Журнал динамических систем, измерений и управления, 123 (3), 518-527.

[Furutaetal2004-3] а ^б Фурута, К., Ивасе, М. (2004) «Анализ времени качания маятника», Бюллетень Польской Академии Наук: Технические науки, 52 (3), 153-163.

[Iwaseetal2006-4] а ^б Ивасе, М., Остром, К.Дж., Фурута, К. и Окессон, Дж. (2006) «Анализ безопасного ручного управления с использованием маятника Furuta», Труды Международной конференции IEEE по приложениям управления, 568-572.

[5] J.Á. Акоста, «Маятник Фуруты: консервативная нелинейная модель для теории и практики», Математические проблемы инженерии, вып. 2010, идентификатор статьи 742894, 29 страниц. http://www.hindawi.com/journals/mpe/2010/742894.html

[Akessonetal2001-6] а ^б Окессон, Дж. И Острём, К.Дж. (2001) «Безопасное ручное управление маятником Furuta», In Proceedings 2001 IEEE International Conference on Control Applications (CCA'01), pp. 890-895.

[7] Олфати-Сабер, Р. (2001) «Нелинейное управление неразработанными механическими системами в применении к робототехнике и аэрокосмическим аппаратам», докторская диссертация, Департамент электротехники и компьютерных наук, Массачусетский технологический институт, Кембридж, Массачусетс. http://www.cds.caltech.edu/~olfati/thesis/

[Fantoni-8] а ^б Фантони И. и Лозано Р. (2002) «Нелинейное управление неразработанными механическими системами», Springer-Verlag, Лондон.

[Egeland-9] а ^б Эгеланд, О. и Гравдал, Т. (2002) «Моделирование и симуляция для автоматического управления», Морская кибернетика, Тронхейм, Норвегия, 639 стр., ISBN 82-92356-00-2.

[10] Хирата, Х., Хага, К., Анабуки, М., Оучи, С. и Ратироч-Анант, П. (2006) «Самонастраивающееся управление для перевернутого маятника вращения с использованием двух типов адаптивных контроллеров», Труды 2006 Конференция IEEE по робототехнике, автоматизации и мехатронике, 1-6. http://lab8.ec.u-tokai.ac.jp/RAM062.pdf

[11] Ратироч-Анант, П., Анабуки, М. и Хирата, Х. (2004) «Самонастраивающееся управление вращательным перевернутым маятником на основе подхода собственных значений», Труды TENCON 2004, Конференция IEEE Region 10, Том D, 542-545. http://lab8.ec.u-tokai.ac.jp/TENCON2004_D-542.pdf

[12] Баба, Ю., Идзуцу, М., Пан, Ю. и Фурута, К. (2006) «Разработка метода управления вращением маятника», Труды международной совместной конференции SICE-ICASE, Корея.

[13] Крейг, К. и Автар, С. (2005) «Перевернутые маятниковые системы: пример проектирования мехатронной системы с вращающимся и приводимым от руки рычагом», Труды 7-й Международной конференции Форума мехатроники, Атланта. http://www-personal.umich.edu/~awtar/craig_awtar_1.pdf

[14] Автар, С., Кинг, Н., Аллен, Т., Банг, И., Хаган, М., Скидмор, Д. и Крейг, К. (2002) «Системы перевернутого маятника: вращающиеся и приводимые от руки - мехатроник. Пример системного проектирования », Мехатроника, 12, 357-370. http://www-personal.umich.edu/~awtar/invertedpendulum_mechatronics.pdf

[Cazzolatoetal2011-15] а ^б Cazzolato, B.S и Prime, Z (2011) «О динамике маятника Furuta», Журнал Control Science and Engineering, Volume 2011 (2011), ID статьи 528341, 8 страниц. http://downloads.hindawi.com/journals/jcse/2011/528341.pdf

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]