Теорема Фродаса - Frodas theorem

В математика, Теорема Дарбу – Фрода, названный в честь Александру Фрода, румынский математик, описывает множество разрывы из монотонный функция с действительным знаком действительной переменной. Обычно эта теорема появляется в литературе без названия. Это было написано в диссертации Фрода в 1929 году.^{[1][2][сомнительный ]}. Как признается в диссертации, теорема на самом деле связана с Жан Гастон Дарбу.^[3]

Определения

1. Рассмотрим функцию ж реальной переменной Икс с действительными значениями, определенными в окрестности точки ${\displaystyle x_{0}}$ и функция ж разрывной в точке на действительной оси ${\displaystyle x=x_{0}}$. Мы назовем устранимая несплошность или скачкообразный разрыв а разрыв первого рода.^[4]
2. Обозначить ${\displaystyle f(x+0):=\lim _{h\searrow 0}f(x+h)}$ и ${\displaystyle f(x-0):=\lim _{h\searrow 0}f(x-h)}$. Тогда если ${\displaystyle f(x_{0}+0)}$ и ${\displaystyle f(x_{0}-0)}$ конечны, мы будем называть разницу ${\displaystyle f(x_{0}+0)-f(x_{0}-0)}$ то Прыгать^[5] из f в ${\displaystyle x_{0}}$.

Если функция непрерывна при ${\displaystyle x_{0}}$ затем прыжок в ${\displaystyle x_{0}}$ равно нулю. Более того, если ${\displaystyle f}$ не является непрерывным в ${\displaystyle x_{0}}$, скачок может быть нулевым при ${\displaystyle x_{0}}$ если ${\displaystyle f(x_{0}+0)=f(x_{0}-0)\neq f(x_{0})}$.

Точное заявление

Позволять ж быть ценным монотонный функция, определенная на интервал я. Тогда множество разрывов первого рода есть самое большое количество.

Можно доказать^[6][7] что все точки разрыва монотонной вещественнозначной функции, определенной на интервале, являются скачкообразными разрывами и, следовательно, по нашему определению - разрывами первого рода. С этим замечанием теорема Фрода принимает более сильную форму:

Позволять ж быть монотонной функцией, определенной на интервале ${\displaystyle I}$. Тогда множество разрывов не более чем счетно.

Доказательство

Позволять ${\displaystyle I:=[a,b]}$ быть интервалом и ${\displaystyle f}$, определенные на ${\displaystyle I}$, увеличение функция. У нас есть

${\displaystyle f(a)\leq f(a+0)\leq f(x-0)\leq f(x+0)\leq f(b-0)\leq f(b)}$

для любого ${\displaystyle a<x<b}$. Позволять ${\displaystyle \alpha >0}$ и разреши ${\displaystyle x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}}$ быть ${\displaystyle n}$ указывает внутри ${\displaystyle I}$ при котором скачок ${\displaystyle f}$ больше или равно ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle f(x_{i}+0)-f(x_{i}-0)\geq \alpha ,\ i=1,2,\ldots ,n}$

У нас есть ${\displaystyle f(x_{i}+0)\leq f(x_{i+1}-0)}$ или же ${\displaystyle f(x_{i+1}-0)-f(x_{i}+0)\geq 0,\ i=1,2,\ldots ,n}$.Потом

${\displaystyle f(b)-f(a)\geq f(x_{n}+0)-f(x_{1}-0)=\sum _{i=1}^{n}[f(x_{i}+0)-f(x_{i}-0)]+}$

${\displaystyle +\sum _{i=1}^{n-1}[f(x_{i+1}-0)-f(x_{i}+0)]\geq \sum _{i=1}^{n}[f(x_{i}+0)-f(x_{i}-0)]\geq n\alpha }$

и поэтому: ${\displaystyle n\leq {\frac {f(b)-f(a)}{\alpha }}}$.

С ${\displaystyle f(b)-f(a)<\infty }$ мы имеем, что количество точек, в которых скачок больше, чем ${\displaystyle \alpha }$ конечна или равна нулю.

Определим следующие множества:

${\displaystyle S_{1}:=\{x:x\in I,f(x+0)-f(x-0)\geq 1\}}$,

${\displaystyle S_{n}:=\{x:x\in I,{\frac {1}{n}}\leq f(x+0)-f(x-0)<{\frac {1}{n-1}}\},\ n\geq 2.}$

У нас есть каждый набор ${\displaystyle S_{n}}$ конечно или пустой набор. Союз${\displaystyle S=\bigcup _{n=1}^{\infty }S_{n}}$ содержит все точки, в которых скачок положительный, и, следовательно, содержит все точки разрыва. Поскольку каждый ${\displaystyle S_{i},\ i=1,2,\ldots }$ не более чем счетно, мы имеем ${\displaystyle S}$ не более чем счетно.

Если ${\displaystyle f}$ является уменьшение доказательство аналогично.

Если интервал ${\displaystyle I}$ не является закрыто и ограниченный (и, следовательно, Теорема Гейне – Бореля нет компактный ), то интервал можно записать как счетное объединение замкнутых и ограниченных интервалов ${\displaystyle I_{n}}$ с тем свойством, что любые два последовательных интервала имеют конечная точка в общем: ${\displaystyle I=\cup _{n=1}^{\infty }I_{n}.}$

Если ${\displaystyle I=(a,b],\ a\geq -\infty }$ тогда ${\displaystyle I_{1}=[\alpha _{1},b],\ I_{2}=[\alpha _{2},\alpha _{1}],\ldots ,\ I_{n}=[\alpha _{n},\alpha _{n-1}],\ldots }$ куда ${\displaystyle \{\alpha _{n}\}_{n}}$ строго убывающий последовательность такой, что ${\displaystyle \alpha _{n}\rightarrow a.}$ Аналогично, если ${\displaystyle I=[a,b),\ b\leq +\infty }$ или если ${\displaystyle I=(a,b)\ -\infty \leq a<b\leq \infty }$.

В любом интервале ${\displaystyle I_{n}}$ у нас не более чем счетное количество точек разрыва, и поскольку счетное объединение не более чем счетных множеств не более чем счетно, отсюда следует, что множество всех разрывов не более чем счетно.

Смотрите также

• Непрерывная функция
• Классификация несплошностей

Примечания

1. Александр Фрода, Sur la Distribution des Propriétés de Voisinage des Fonctions de Variables Réelles, Эти, Издания Hermann, Париж, 3 декабря 1929 г.
2. Александру Фрода - Сборник статей (Opera Matematica), Том 1, Редактор Academiei Române, 2000 г.
3. Жан Гастон Дарбу, Mémoire sur les fonctions прекращается, Научные Анналы Высшей Нормальной Школы, 2-я серия, г. IV, 1875 г., гл. VI.
4. Вальтер Рудин, Принципы математического анализа, McGraw-Hill 1964, (Def. 4.26, pp. 81–82)
5. Мирон Николеску, Николае Динкуляну, Соломон Маркус, Математический анализ (Бухарест, 1971), т. 1, стр. 213, [на румынском языке]
6. Вальтер Рудин, Принципы математического анализа, McGraw – Hill 1964 (следствие, стр. 83)
7. Мирон Николеску, Николае Динкуляну, Соломон Маркус, Математический анализ (Бухарест, 1971), том 1, стр. 213, [на румынском языке]

Рекомендации

• Бернард Р. Гельбаум, Джон М. Х. Олмстед, Контрпримеры в анализе, Holden – Day, Inc., 1964. (18. стр. 28)
• Джон М. Х. Олмстед, Реальные переменные, Appleton – Century – Crofts, Inc., Нью-Йорк (1956), (стр. 59, Ex. 29).