Теорема Фродаса - Frodas theorem

В математика, Теорема Дарбу – Фрода, названный в честь Александру Фрода, румынский математик, описывает множество разрывы из монотонный функция с действительным знаком действительной переменной. Обычно эта теорема появляется в литературе без названия. Это было написано в диссертации Фрода в 1929 году.[1][2][сомнительный ]. Как признается в диссертации, теорема на самом деле связана с Жан Гастон Дарбу.[3]

Определения

  1. Рассмотрим функцию ж реальной переменной Икс с действительными значениями, определенными в окрестности точки и функция ж разрывной в точке на действительной оси . Мы назовем устранимая несплошность или скачкообразный разрыв а разрыв первого рода.[4]
  2. Обозначить и . Тогда если и конечны, мы будем называть разницу то Прыгать[5] из f в .

Если функция непрерывна при затем прыжок в равно нулю. Более того, если не является непрерывным в , скачок может быть нулевым при если .

Точное заявление

Позволять ж быть ценным монотонный функция, определенная на интервал я. Тогда множество разрывов первого рода есть самое большое количество.

Можно доказать[6][7] что все точки разрыва монотонной вещественнозначной функции, определенной на интервале, являются скачкообразными разрывами и, следовательно, по нашему определению - разрывами первого рода. С этим замечанием теорема Фрода принимает более сильную форму:

Позволять ж быть монотонной функцией, определенной на интервале . Тогда множество разрывов не более чем счетно.

Доказательство

Позволять быть интервалом и , определенные на , увеличение функция. У нас есть

для любого . Позволять и разреши быть указывает внутри при котором скачок больше или равно :

У нас есть или же .Потом

и поэтому: .

С мы имеем, что количество точек, в которых скачок больше, чем конечна или равна нулю.

Определим следующие множества:

,

У нас есть каждый набор конечно или пустой набор. Союз содержит все точки, в которых скачок положительный, и, следовательно, содержит все точки разрыва. Поскольку каждый не более чем счетно, мы имеем не более чем счетно.

Если является уменьшение доказательство аналогично.

Если интервал не является закрыто и ограниченный (и, следовательно, Теорема Гейне – Бореля нет компактный ), то интервал можно записать как счетное объединение замкнутых и ограниченных интервалов с тем свойством, что любые два последовательных интервала имеют конечная точка в общем:

Если тогда куда строго убывающий последовательность такой, что Аналогично, если или если .

В любом интервале у нас не более чем счетное количество точек разрыва, и поскольку счетное объединение не более чем счетных множеств не более чем счетно, отсюда следует, что множество всех разрывов не более чем счетно.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Александр Фрода, Sur la Distribution des Propriétés de Voisinage des Fonctions de Variables Réelles, Эти, Издания Hermann, Париж, 3 декабря 1929 г.
  2. ^ Александру Фрода - Сборник статей (Opera Matematica), Том 1, Редактор Academiei Române, 2000 г.
  3. ^ Жан Гастон Дарбу, Mémoire sur les fonctions прекращается, Научные Анналы Высшей Нормальной Школы, 2-я серия, г. IV, 1875 г., гл. VI.
  4. ^ Вальтер Рудин, Принципы математического анализа, McGraw-Hill 1964, (Def. 4.26, pp. 81–82)
  5. ^ Мирон Николеску, Николае Динкуляну, Соломон Маркус, Математический анализ (Бухарест, 1971), т. 1, стр. 213, [на румынском языке]
  6. ^ Вальтер Рудин, Принципы математического анализа, McGraw – Hill 1964 (следствие, стр. 83)
  7. ^ Мирон Николеску, Николае Динкуляну, Соломон Маркус, Математический анализ (Бухарест, 1971), том 1, стр. 213, [на румынском языке]

Рекомендации

  • Бернард Р. Гельбаум, Джон М. Х. Олмстед, Контрпримеры в анализе, Holden – Day, Inc., 1964. (18. стр. 28)
  • Джон М. Х. Олмстед, Реальные переменные, Appleton – Century – Crofts, Inc., Нью-Йорк (1956), (стр. 59, Ex. 29).