Теорема Фрейденталя о подвеске - Freudenthal suspension theorem

В математика, и особенно в области теория гомотопии, то Теорема Фрейденталя о подвеске является фундаментальным результатом, ведущим к концепции стабилизации гомотопические группы и в конечном итоге теория стабильной гомотопии. Это объясняет поведение одновременного приема подвески и увеличивая индекс гомотопических групп рассматриваемого пространства. Это было доказано в 1937 г. Ганс Фройденталь.

Теорема является следствием гомотопическая теорема об удалении.

Формулировка теоремы

Позволять Икс быть п-связаны заостренное пространство (заостренный CW-комплекс или указал симплициальный набор ). Карта

${\displaystyle X\to \Omega (\Sigma X)}$

индуцирует карту

${\displaystyle \pi _{k}(X)\to \pi _{k}(\Omega (\Sigma X))}$

на гомотопических группах, где Ω обозначает функтор цикла а Σ обозначает пониженный функтор подвески. Теорема о надстройке утверждает, что индуцированное отображение на гомотопических группах является изоморфизм если k ≤ 2п и эпиморфизм если k = 2п + 1.

Основной результат о пространствах циклов дает соотношение

${\displaystyle \pi _{k}(\Omega (\Sigma X))\cong \pi _{k+1}(\Sigma X)}$

так что иначе теорему можно было бы сформулировать в терминах отображения

${\displaystyle \pi _{k}(X)\to \pi _{k+1}(\Sigma X),}$

с небольшой оговоркой, что в этом случае нужно быть осторожным с индексацией.

Доказательство

Как упоминалось выше, теорема Фрейденталя о приостановке быстро следует из гомотопическое удаление; это доказательство проводится в терминах естественного отображения ${\displaystyle \pi _{k}(X)\to \pi _{k+1}(\Sigma X)}$. Если пробел ${\displaystyle X}$ является ${\displaystyle n}$-связаны, то пара пространств ${\displaystyle (CX,X)}$ является ${\displaystyle (n+1)}$-связано, где ${\displaystyle CX}$ это уменьшенный конус над ${\displaystyle X}$; это следует из относительная гомотопия длинная точная последовательность. Мы можем разложить ${\displaystyle \Sigma X}$ как две копии ${\displaystyle CX}$, сказать ${\displaystyle (CX)_{+},(CX)_{-}}$, пересечение которого ${\displaystyle X}$. Тогда гомотопическое вырезание говорит, что карта включения:

${\displaystyle ((CX)_{+},X)\subset (\Sigma X,(CX)_{-})}$

индуцирует изоморфизмы на ${\displaystyle \pi _{i},i<2n+2}$ и сюрприз на ${\displaystyle \pi _{2n+2}}$. Из той же относительно длинной точной последовательности, ${\displaystyle \pi _{i}(X)=\pi _{i+1}(CX,X),}$ а так как конусы, кроме того, сжимаются,

${\displaystyle \pi _{i}(\Sigma X,(CX)_{-})=\pi _{i}(\Sigma X).}$

Собирая все вместе, получаем

${\displaystyle \pi _{i}(X)=\pi _{i+1}((CX)_{+},X)=\pi _{i+1}((\Sigma X,(CX)_{-})=\pi _{i+1}(\Sigma X)}$

за ${\displaystyle i+1<2n+2}$, т.е. ${\displaystyle i\leqslant 2n}$, как заявлено выше; за ${\displaystyle i=2n+1}$ левое и правое отображения являются изоморфизмами, независимо от того, насколько связаны ${\displaystyle X}$ есть, а средний - выделение путем вырезания, поэтому композиция представляет собой выделение, как заявлено.

Следствие 1.

Позволять S^п обозначить п-сфера и обратите внимание, что это (п - 1) -связаны так, что группы ${\displaystyle \pi _{n+k}(S^{n})}$ стабилизировать для ${\displaystyle n\geqslant k+2}$ по теореме Фрейденталя. Эти группы представляют kй конюшня гомотопическая группа сфер.

Следствие 2.

В общем, для фиксированных k ≥ 1, k ≤ 2п для достаточно большого п, так что любой п-связанное пространство Икс будут иметь соответствующие стабилизированные гомотопические группы. Эти группы фактически являются гомотопическими группами объекта, соответствующего Икс в стабильная гомотопическая категория.

Рекомендации

• Фройденталь, Х. (1938), "Über die Klassen der Sphärenabbildungen. I. Große Dimensionen", Compositio Mathematica, 5: 299–314.
• Goerss, P. G .; Жардин, Дж. Ф. (1999), Симплициальная теория гомотопий, Успехи в математике, 174, Базель-Бостон-Берлин: Birkhäuser.
• Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-79540-0.
• Уайтхед, Дж. У. (1953), «О теоремах Фрейденталя», Анналы математики, 57 (2): 209–228, Дои:10.2307/1969855, JSTOR  1969855, МИСТЕР  0055683.