Теория Франк-Каменецкого - Frank-Kamenetskii theory

В горение, Теория Франк-Каменецкого объясняет тепловой взрыв однородной смеси реагентов, хранящейся в закрытом сосуде с постоянной температурой стенок. Назван в честь русского ученого. Давид А. Франк-Каменецкий, который вместе с Николай Семенов разработал теорию в 1930-х гг.^[1][2][3][4]

Описание проблемы^{[5][6][7][8][9]}

Рассмотрим сосуд, в котором поддерживается постоянная температура. ${\displaystyle T_{o}}$, содержащий гомогенную реакционную смесь. Пусть характерный размер судна равен ${\displaystyle a}$. Поскольку смесь однородна, плотность ${\displaystyle \rho }$ постоянно. В начальный период зажигание, расход концентрации реагента незначителен (см. ${\displaystyle t_{f}}$ и ${\displaystyle t_{e}}$ ниже), поэтому взрыв регулируется только уравнением энергии. Предполагая одноэтапную глобальную реакцию ${\displaystyle {\text{fuel}}+{\text{oxidizer}}\rightarrow {\text{products}}+q}$, куда ${\displaystyle q}$ - количество тепла, выделяемого на единицу массы израсходованного топлива, а скорость реакции определяется Закон Аррениуса, уравнение энергии принимает вид

${\displaystyle \rho c_{v}{\frac {\partial T}{\partial t}}=\lambda \nabla ^{2}T+q\rho BY_{Fo}e^{-E/(RT)}}$

куда

• ${\displaystyle T}$ это температура смеси
• ${\displaystyle c_{v}}$ это удельная теплоемкость при постоянной громкости
• ${\displaystyle \lambda }$ это теплопроводность
• ${\displaystyle B}$ это предэкспоненциальный множитель с размерностью одного с течением времени
• ${\displaystyle Y_{Fo}}$ это начальное топливо массовая доля
• ${\displaystyle E}$ это энергия активации
• ${\displaystyle R}$ это универсальная газовая постоянная

Безразмерность

Безразмерная энергия активации ${\displaystyle \beta }$ и параметр тепловыделения ${\displaystyle \gamma }$ находятся

${\displaystyle \beta ={\frac {E}{RT_{o}}},\quad \gamma ={\frac {qY_{Fo}}{c_{v}T_{o}}}}$

Характерное время теплопроводности по емкости составляет ${\displaystyle t_{c}=\rho c_{v}a^{2}/\lambda }$, характерное время расхода топлива составляет ${\displaystyle t_{f}=\left(Be^{-\beta }\right)^{-1}}$ а характерное время взрыва / возгорания ${\displaystyle t_{e}=\left(\beta \gamma Be^{-\beta }\right)^{-1}}$. Следует отметить, что в процессе горения обычно ${\displaystyle \gamma \approx 6{-}8,\ \beta \approx 30{-}100}$ так что ${\displaystyle \beta \gamma \gg 1}$. Следовательно, ${\displaystyle t_{f}=\beta \gamma t_{e}\gg 1}$т. е. топливо расходуется гораздо дольше, чем время воспламенения, расход топлива существенно незначителен для изучения воспламенения / взрыва. По этой причине предполагается, что концентрация топлива такая же, как и исходная концентрация топлива. ${\displaystyle Y_{Fo}}$. Безразмерные масштабы

${\displaystyle \tau ={\frac {t}{t_{e}}},\quad \theta ={\frac {\beta (T-T_{o})}{T_{o}}},\quad \eta ^{j}={\frac {r^{j}}{a}},\quad \delta ={\frac {t_{c}}{t_{e}}}}$

куда ${\displaystyle \delta }$ это Число Дамкёлера и ${\displaystyle r}$ - пространственная координата с началом в центре, ${\displaystyle j=0}$ для плоской плиты, ${\displaystyle j=1}$ для цилиндрического сосуда и ${\displaystyle j=2}$ для сферического сосуда. В этом масштабе уравнение принимает вид

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial \tau }}={\frac {1}{\delta }}{\frac {1}{\eta ^{j}}}{\frac {\partial }{\partial \eta }}\left(\eta ^{j}{\frac {\partial \theta }{\partial \eta }}\right)+e^{\theta /(1+\theta /\beta )}}$

С ${\displaystyle \beta \gg 1}$, экспоненциальный член можно линеаризовать ${\displaystyle e^{\theta /(1+\theta /\beta )}\approx e^{\theta }}$, следовательно

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial \tau }}={\frac {1}{\delta }}{\frac {1}{\eta ^{j}}}{\frac {\partial }{\partial \eta }}\left(\eta ^{j}{\frac {\partial \theta }{\partial \eta }}\right)+e^{\theta }}$

Теория Семенова

Перед Франк-Каменецкий, его научный руководитель Николай Семенов (или Семенов) предложил теорию теплового взрыва с простой моделью, т.е. он предположил линейную функцию для процесса теплопроводности вместо Лапласиан оператор. Уравнение Семенова читается как

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial \tau }}=e^{\theta }-{\frac {\theta }{\delta }},\quad \theta (0)=0}$

За ${\displaystyle e^{-1}<\delta <\infty }$, система взорвется, поскольку экспоненциальный член доминирует. За ${\displaystyle 0<\delta <e^{-1}}$, система переходит в устойчивое состояние, система не взрывается. В частности, Семенов нашел критическое Число Дамкёлера, который называется Параметр Франк-Каменецкого ${\displaystyle \delta _{c}=e^{-1}}$(куда ${\displaystyle \theta =1}$) как критическая точка, в которой система переходит из устойчивого состояния во взрывоопасное. За ${\displaystyle \delta \gg 1}$, решение

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial \tau }}=e^{\theta },\quad \Rightarrow \quad \theta =\ln \left({\frac {1}{1-\tau }}\right)}$

Вовремя ${\displaystyle \tau =1}$, система взорвется. Это время также называют период адиабатической индукции поскольку теплопроводность здесь незначительна.

Теория стационарного состояния Франк-Каменецкого^[10][11]

Единственный параметр, характеризующий взрыв, - это Число Дамкёлера ${\displaystyle \delta }$. Когда ${\displaystyle \delta }$ очень велико, время теплопроводности больше, чем время химической реакции, и система взрывается при высокой температуре, так как для теплопроводности недостаточно времени для отвода тепла. С другой стороны, когда ${\displaystyle \delta }$ очень мала, время теплопроводности намного меньше, чем время химической реакции, так что все тепло, производимое химической реакцией, немедленно передается на стену, поэтому взрыва нет, оно переходит в почти устойчивое состояние, Amable Liñán придумал этот режим как режим медленного реагирования. При критическом числе Дамкелера ${\displaystyle \delta _{c}}$ система переходит из режима медленного реагирования во взрывной режим. Следовательно, ${\displaystyle \delta <\delta _{c}}$, система находится в устойчивом состоянии. Вместо того, чтобы решать всю проблему, чтобы найти это ${\displaystyle \delta _{c}}$, Франк-Каменецкий решил задачу о стационарном состоянии для различных чисел Дамкелера до критического значения, за пределами которого не существует устойчивого решения. Итак, проблема, которую нужно решить,

${\displaystyle {\frac {1}{\eta ^{j}}}{\frac {d}{d\eta }}\left(\eta ^{j}{\frac {d\theta }{d\eta }}\right)=-\delta e^{\theta }}$

с граничными условиями

${\displaystyle \theta (1)=0,\quad {\frac {d\theta }{d\eta }}_{\eta =0}=0}$

второе условие связано с симметрией сосуда. Вышеприведенное уравнение является частным случаем Уравнение Лиувилля – Брату – Гельфанда. в математика.

Плоское судно

Франк-Каменецкий взрыв для планарного судна

Для плоского сосуда есть точное решение. Здесь ${\displaystyle j=0}$, тогда

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{d\eta ^{2}}}=-\delta e^{\theta }}$

Если преобразования ${\displaystyle \Theta =\theta _{m}-\theta }$ и ${\displaystyle \xi ^{2}=\delta e^{\theta _{m}}\eta ^{2}}$, куда ${\displaystyle \theta _{m}}$ это максимальная температура, которая возникает при ${\displaystyle \eta =0}$ в силу симметрии вводятся

${\displaystyle {\frac {d^{2}\Theta }{d\xi ^{2}}}=e^{-\Theta },\quad \Theta (0)=0,\quad {\frac {d\Theta }{d\xi }}_{\xi =0}=0}$

После однократного интегрирования и использования второго граничного условия уравнение принимает вид

${\displaystyle {\frac {d\Theta }{d\xi }}={\sqrt {2(1-e^{-\Theta })}}}$

и снова интегрируя

${\displaystyle e^{(\theta _{m}-\theta )/2}=\cosh \left({\sqrt {\frac {\delta e^{\theta _{m}}}{2}}}\eta \right)}$

Вышеприведенное уравнение является точным решением, но ${\displaystyle \theta _{m}}$ максимальная температура неизвестна, но мы еще не использовали граничное условие стенки. Таким образом, используя граничное условие стенки ${\displaystyle \theta =0}$ в ${\displaystyle \eta =1}$, максимальная температура получается из неявного выражения,

${\displaystyle e^{\theta _{m}/2}=\cosh \left({\sqrt {\frac {\delta e^{\theta _{m}}}{2}}}\right)\quad {\text{or}}\quad \delta =2e^{-\theta _{m}}\left(\cosh ^{-1}e^{\theta _{m}/2}\right)^{2}}$

Критический ${\displaystyle \delta _{c}}$ получается путем нахождения максимальной точки уравнения (см. рисунок), т.е. ${\displaystyle d\delta /d\theta _{m}=0}$ в ${\displaystyle \delta _{c}}$.

${\displaystyle {\frac {d\delta }{d\theta _{m}}}=0,\quad \Rightarrow \quad e^{\theta _{m,c}/2}-{\sqrt {e^{\theta _{m,c}}-1}}\cosh ^{-1}e^{\theta _{m,c}/2}=0}$

${\displaystyle \theta _{m,c}=1.1868,\quad \Rightarrow \quad \delta _{c}=0.8785}$

Таким образом, критический параметр Франка-Каменского равен ${\displaystyle \delta _{c}=0.8785}$. Система не имеет устойчивого состояния (или взрывается) в течение ${\displaystyle \delta >\delta _{c}=0.8785}$ и для ${\displaystyle \delta <\delta _{c}=0.8785}$, система переходит в устойчивое состояние с очень медленной реакцией.

Цилиндрический сосуд

Франк-Каменецкий взрыв для цилиндрического сосуда

Для цилиндрического сосуда есть точное решение. Хотя Франк-Каменцкий использовал численное интегрирование, предполагая, что явного решения нет, Поль Л. Шамбре предоставил точное решение в 1952 году.^[12] Х. Лемке также предложил решение в несколько иной форме в 1913 г.^[13] Здесь ${\displaystyle j=1}$, тогда

${\displaystyle {\frac {1}{\eta }}{\frac {d}{d\eta }}\left(\eta {\frac {d\theta }{d\eta }}\right)=-\delta e^{\theta }}$

Если преобразования ${\displaystyle \omega =\eta d\theta /d\eta }$ и ${\displaystyle \chi =e^{\theta }\eta ^{2}}$ представлены

${\displaystyle {\frac {d\omega }{d\chi }}=-{\frac {\delta }{2+\omega }},\quad \omega (0)=0}$

Общее решение ${\displaystyle \omega ^{2}+4\omega +C=-2\delta \chi }$. Но ${\displaystyle C=0}$ из условия симметрии в центре. Записываясь обратно в исходную переменную, уравнение читается так:

${\displaystyle \eta ^{2}\left({\frac {d\theta }{d\eta }}\right)^{2}+4\eta {\frac {d\theta }{d\eta }}=-2\delta \eta ^{2}e^{\theta }}$

Но исходное уравнение, умноженное на ${\displaystyle 2\eta ^{2}}$ является

${\displaystyle 2\eta ^{2}{\frac {d^{2}\theta }{d\eta ^{2}}}+2\eta {\frac {d\theta }{d\eta }}=-2\delta \eta ^{2}e^{\theta }}$

Теперь вычитание двух последних уравнений друг из друга приводит к

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{d\eta ^{2}}}-{\frac {1}{\eta }}{\frac {d\theta }{d\eta }}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\theta }{d\eta }}\right)^{2}=0}$

Это уравнение легко решить, потому что оно включает только производные, поэтому позволяя ${\displaystyle g(\eta )=d\theta /d\eta }$ преобразует уравнение

${\displaystyle {\frac {dg}{d\eta }}-{\frac {g}{\eta }}-{\frac {g^{2}}{2}}=0}$

Это Дифференциальное уравнение Бернулли порядка ${\displaystyle 2}$, тип Уравнение Риккати. Решение

${\displaystyle g(\eta )={\frac {d\theta }{d\eta }}=-{\frac {4\eta }{B'+\eta ^{2}}}}$

Интегрируя еще раз, мы имеем ${\displaystyle \theta =A-2\ln(B\eta ^{2}+1)}$ куда ${\displaystyle B=1/B'}$. Мы использовали уже одно граничное условие, осталось еще одно граничное условие, но с двумя константами ${\displaystyle A,\ B}$. Оказывается ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ связаны друг с другом, что получается путем подстановки указанного выше решения в исходное уравнение, мы приходим к ${\displaystyle A=\ln(8B/\delta )}$. Следовательно, решение

${\displaystyle \theta =\ln \left[{\frac {8B/\delta }{(B\eta ^{2}+1)^{2}}}\right]}$

Теперь, если мы воспользуемся другим граничным условием ${\displaystyle \theta (1)=0}$, получаем уравнение для ${\displaystyle B}$ в качестве ${\displaystyle \delta (B+1)^{2}-8B=0}$. Максимальное значение ${\displaystyle \delta }$ для которого решение возможно, когда ${\displaystyle B=1}$, поэтому критический параметр Франка-Каменского равен ${\displaystyle \delta _{c}=2}$. Система не имеет устойчивого состояния (или взрывается) в течение ${\displaystyle \delta >\delta _{c}=2}$ и для ${\displaystyle \delta <\delta _{c}=2}$, система переходит в устойчивое состояние с очень медленной реакцией. Максимальная температура ${\displaystyle \theta _{m}}$ происходит в ${\displaystyle \eta =0}$

${\displaystyle \theta _{m}=\ln \left({\frac {8B}{\delta }}\right)\quad {\text{or}}\quad \delta =8Be^{-\theta _{m}}}$

Для каждого значения ${\displaystyle \delta }$, имеем два значения ${\displaystyle \theta _{m}}$ поскольку ${\displaystyle B}$ многозначен. Максимальная критическая температура составляет ${\displaystyle \theta _{m,c}=\ln 4}$.

Сферический сосуд

Для сферического сосуда нет явного решения, поэтому Франк-Каменецкий использовали численные методы для определения критического значения. Здесь ${\displaystyle j=2}$, тогда

${\displaystyle {\frac {1}{\eta ^{2}}}{\frac {d}{d\eta }}\left(\eta ^{2}{\frac {d\theta }{d\eta }}\right)=-\delta e^{\theta }}$

Если преобразования ${\displaystyle \Theta =\theta _{m}-\theta }$ и ${\displaystyle \xi ^{2}=\delta e^{\theta _{m}}\eta ^{2}}$, куда ${\displaystyle \theta _{m}}$ это максимальная температура, которая возникает при ${\displaystyle \eta =0}$ в силу симметрии вводятся

${\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\Theta }{d\xi }}\right)=e^{-\Theta },\quad \Theta (0)=0,\quad {\frac {d\Theta }{d\xi }}_{\xi =0}=0}$

Вышеприведенное уравнение - не что иное, как Уравнение Эмдена – Чандрасекара,^[14] который появляется в астрофизика описание изотермический газовая сфера. В отличие от плоского и цилиндрического корпуса сферический сосуд имеет бесконечное множество решений для ${\displaystyle \delta <\delta _{c}}$ колебаться вокруг точки ${\displaystyle \delta =2}$,^[15] вместо двух решений, как показал Израиль Гельфанд.^[16] Для объяснения взрывного поведения будет выбрана самая нижняя ветвь.

Численным решением установлено, что критический параметр Франка-Каменецкого равен ${\displaystyle \delta _{c}=3.32}$. Система не имеет устойчивого состояния (или взрывается) в течение ${\displaystyle \delta >\delta _{c}=3.32}$ и для ${\displaystyle \delta <\delta _{c}=3.32}$, система переходит в устойчивое состояние с очень медленной реакцией. Максимальная температура ${\displaystyle \theta _{m}}$ происходит в ${\displaystyle \eta =0}$ а максимальная критическая температура составляет ${\displaystyle \theta _{m,c}=1.61}$.

Несимметричные геометрии

Для сосудов, которые не являются симметричными относительно центра (например, прямоугольный сосуд), проблема заключается в решении нелинейного уравнение в частных производных вместо нелинейного обыкновенное дифференциальное уравнение, которые в большинстве случаев могут быть решены только численными методами. Уравнение

${\displaystyle \nabla ^{2}\theta +\delta e^{\theta }=0}$

с граничным условием ${\displaystyle \theta =0}$ на ограничивающих поверхностях.

Приложения

Поскольку модель предполагает однородную смесь, теория хорошо применима для изучения взрывоопасного поведения твердого топлива (самовозгорание биотоплива, органических материалов, мусора и т. Д.). Это также используется для конструирования взрывчатых веществ и взломщиков огня. Теория точно предсказала критические значения для жидкостей / твердых тел с низкой проводимостью и тонкостенных контейнеров с высокой проводимостью.^[17]

Смотрите также

• Уравнение Кларка

Рекомендации

1. Франк-Каменецкий, Дэвид А. «К распределению температуры в реакционном сосуде и стационарной теории теплового взрыва». Доклады Академии Наук СССР. Vol. 18. 1938.
2. Франк-Каменецкий Д.А. «Расчет пределов теплового взрыва». Acta. Физ.-хим СССР 10 (1939): 365.
3. Семенов Н. Н. «Расчет критических температур теплового взрыва». Z Phys Chem 48 (1928): 571.
4. Семенов Н. Н. «К теории процессов горения». Z. Phys. Chem 48 (1928): 571–582.
5. Франк-Каменецкий Давид Альбертович. Диффузия и теплообмен в химической кинетике. Издательство Принстонского университета, 2015.
6. Линан, Амабл и Форман Артур Уильямс. «Фундаментальные аспекты горения». (1993).
7. Уильямс, Форман А. "Теория горения". (1985).
8. Бакмастер, Джон Дэвид и Джеффри Стюарт Стивен Ладфорд. Теория ламинарного пламени. Издательство Кембриджского университета, 1982.
9. Бакмастер, Джон Д., изд. Математика горения. Общество промышленной и прикладной математики, 1985.
10. Зельдович, И.А., Баренблатт, Г.И., Либрович, В.Б., Махвиладзе, Г.М. (1985). Математическая теория горения и взрыва.
11. Льюис, Бернар и Гюнтер фон Эльбе. Возгорание, пламя и взрывы газов. Эльзевир, 2012.
12. Chambre, P. L. «О решении уравнения Пуассона-Больцмана в применении к теории тепловых взрывов». Журнал химической физики 20.11 (1952): 1795–1797.
13. Лемке, Х. (1913). Über die Differentialgleichungen, welche den Gleichgewichtszustand eines gasförmigem Himmelskörpers bestimmen, dessen Teile gegeneinander nach dem Newtonschen Gesetz gravitieren. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 142, 118–145.
14. Субраманян Чандрасекар. Введение в изучение звездного строения. Vol. 2. Курьерская корпорация, 1958 год.
15. Якобсен, Джон и Клаус Шмитт. «Проблема Лиувилля – Брату – Гельфанда для радиальных операторов». Журнал дифференциальных уравнений 184.1 (2002): 283–298.
16. Гельфанд И. М. (1963). Некоторые вопросы теории квазилинейных уравнений. Амер. Математика. Soc. Перевод, 29 (2), 295–381.
17. Зукас, Джонас А., Уильям Уолтерс и Уильям П. Уолтерс, ред. Взрывные эффекты и приложения. Springer Science & Business Media, 2002.

внешняя ссылка

• Проблема Франк-Каменецкого в Вольфрам решатель http://demonstrations.wolfram.com/TheFrankKamenetskiiProblem/
• Отслеживание проблемы Франк-Каменецкого в Вольфрам решатель http://demonstrations.wolfram.com/TrackingTheFrankKamenetskiiProblem/
• Планарное решение в Chebfun решатель http://www.chebfun.org/examples/ode-nonlin/BlowupFK.html